Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11348 / 23723
↖ ↑ ↗
← S 62.486953°
W 55.327149°		 ← 564.34 m → S 62.486953°
W 55.316162°		 →
↑
564.28 m
↓
↑
564.28 m
↓
S 62.492028°
W 55.327149°		 ← 564.24 m →
318 417 m²		 S 62.492028°
W 55.316162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346328735351562 y=0.723983764648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346328735351562 × 215)
    floor (0.346328735351562 × 32768)
    floor (11348.5)     		tx = 11348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723983764648438 × 215)
    floor (0.723983764648438 × 32768)
    floor (23723.5)     		ty = 23723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11348 / 23723 ti = "15/11348/23723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11348/23723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11348 ÷ 215
    11348 ÷ 32768     		x = 0.3463134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23723 ÷ 215
    23723 ÷ 32768     		y = 0.723968505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3463134765625 × 2 - 1) × π
    -0.307373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.96564091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723968505859375 × 2 - 1) × π
    -0.44793701171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.40723562524637
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96564091} λ = -0.96564091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40723562524637))-π/2
    2×atan(0.244819120384963)-π/2
    2×0.240096628526824-π/2
    0.480193257053648-1.57079632675     		φ = -1.09060307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96564091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.327149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09060307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.486953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11348 KachelY 23723 -0.96564091 -1.09060307 -55.327149 -62.486953
    Oben rechts KachelX + 1 11349 KachelY 23723 -0.96544916 -1.09060307 -55.316162 -62.486953
    Unten links KachelX 11348 KachelY + 1 23724 -0.96564091 -1.09069164 -55.327149 -62.492028
    Unten rechts KachelX + 1 11349 KachelY + 1 23724 -0.96544916 -1.09069164 -55.316162 -62.492028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09060307--1.09069164) × R
    8.85699999999545e-05 × 6371000     		dl = 564.27946999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09060307--1.09069164) × R
    8.85699999999545e-05 × 6371000     		dr = 564.27946999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96564091--0.96544916) × cos(-1.09060307) × R
    0.000191749999999935 × 0.461950584712974 × 6371000     		do = 564.336965845628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96564091--0.96544916) × cos(-1.09069164) × R
    0.000191749999999935 × 0.461872029666475 × 6371000     		du = 564.240999917539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09060307)-sin(-1.09069164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461950584712974-0.461872029666475)×R²
    abs(-0.96544916--0.96564091)×7.85550464992846e-05×R²
    0.000191749999999935×7.85550464992846e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.85550464992846e-05×40589641000000     		ar = 318416.688395736m²