Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113479 / 18679
↖ ↑ ↗
← N 77.920843°
E131.679382°		 ← 63.91 m → N 77.920843°
E131.682129°		 →
↑
63.90 m
↓
↑
63.90 m
↓
N 77.920268°
E131.679382°		 ← 63.92 m →
4 084 m²		 N 77.920268°
E131.682129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865779876708984 y=0.142513275146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865779876708984 × 217)
    floor (0.865779876708984 × 131072)
    floor (113479.5)     		tx = 113479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142513275146484 × 217)
    floor (0.142513275146484 × 131072)
    floor (18679.5)     		ty = 18679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113479 / 18679 ti = "17/113479/18679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113479/18679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113479 ÷ 217
    113479 ÷ 131072     		x = 0.865776062011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18679 ÷ 217
    18679 ÷ 131072     		y = 0.142509460449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.865776062011719 × 2 - 1) × π
    0.731552124023438 × 3.1415926535     		Λ = 2.29823878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142509460449219 × 2 - 1) × π
    0.714981079101562 × 3.1415926535     		Φ = 2.24617930549697
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29823878} λ = 2.29823878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24617930549697))-π/2
    2×atan(9.45155525768417)-π/2
    2×1.46538579562272-π/2
    2.93077159124544-1.57079632675     		φ = 1.35997526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29823878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.679382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35997526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.920843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113479 KachelY 18679 2.29823878 1.35997526 131.679382 77.920843
    Oben rechts KachelX + 1 113480 KachelY 18679 2.29828672 1.35997526 131.682129 77.920843
    Unten links KachelX 113479 KachelY + 1 18680 2.29823878 1.35996523 131.679382 77.920268
    Unten rechts KachelX + 1 113480 KachelY + 1 18680 2.29828672 1.35996523 131.682129 77.920268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35997526-1.35996523) × R
    1.00299999998832e-05 × 6371000     		dl = 63.9011299992558m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35997526-1.35996523) × R
    1.00299999998832e-05 × 6371000     		dr = 63.9011299992558m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29823878-2.29828672) × cos(1.35997526) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209262858197647 × 6371000     		do = 63.9142633194895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29823878-2.29828672) × cos(1.35996523) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209272666117159 × 6371000     		du = 63.9172589105644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35997526)-sin(1.35996523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209262858197647-0.209272666117159)×R²
    abs(2.29828672-2.29823878)×9.80791951218918e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.80791951218918e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.80791951218918e-06×40589641000000     		ar = 4084.28935997492m²