Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113479 / 18605
↖ ↑ ↗
← N 77.963301°
E131.679382°		 ← 63.69 m → N 77.963301°
E131.682129°		 →
↑
63.65 m
↓
↑
63.65 m
↓
N 77.962729°
E131.679382°		 ← 63.70 m →
4 054 m²		 N 77.962729°
E131.682129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865779876708984 y=0.141948699951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865779876708984 × 217)
    floor (0.865779876708984 × 131072)
    floor (113479.5)     		tx = 113479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141948699951172 × 217)
    floor (0.141948699951172 × 131072)
    floor (18605.5)     		ty = 18605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113479 / 18605 ti = "17/113479/18605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113479/18605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113479 ÷ 217
    113479 ÷ 131072     		x = 0.865776062011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18605 ÷ 217
    18605 ÷ 131072     		y = 0.141944885253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.865776062011719 × 2 - 1) × π
    0.731552124023438 × 3.1415926535     		Λ = 2.29823878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141944885253906 × 2 - 1) × π
    0.716110229492188 × 3.1415926535     		Φ = 2.24972663606886
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29823878} λ = 2.29823878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24972663606886))-π/2
    2×atan(9.48514258605933)-π/2
    2×1.46575631484989-π/2
    2.93151262969977-1.57079632675     		φ = 1.36071630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29823878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.679382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36071630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.963301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113479 KachelY 18605 2.29823878 1.36071630 131.679382 77.963301
    Oben rechts KachelX + 1 113480 KachelY 18605 2.29828672 1.36071630 131.682129 77.963301
    Unten links KachelX 113479 KachelY + 1 18606 2.29823878 1.36070631 131.679382 77.962729
    Unten rechts KachelX + 1 113480 KachelY + 1 18606 2.29828672 1.36070631 131.682129 77.962729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36071630-1.36070631) × R
    9.98999999990424e-06 × 6371000     		dl = 63.6462899993899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36071630-1.36070631) × R
    9.98999999990424e-06 × 6371000     		dr = 63.6462899993899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29823878-2.29828672) × cos(1.36071630) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.208538167857913 × 6371000     		do = 63.6929242362054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29823878-2.29828672) × cos(1.36070631) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.208547938209656 × 6371000     		du = 63.6959083531167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36071630)-sin(1.36070631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208538167857913-0.208547938209656)×R²
    abs(2.29828672-2.29823878)×9.77035174351548e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.77035174351548e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.77035174351548e-06×40589641000000     		ar = 4053.91329101018m²