Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113478 / 18683
↖ ↑ ↗
← N 77.918544°
E131.676636°		 ← 63.93 m → N 77.918544°
E131.679382°		 →
↑
63.96 m
↓
↑
63.96 m
↓
N 77.917969°
E131.676636°		 ← 63.93 m →
4 089 m²		 N 77.917969°
E131.679382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865772247314453 y=0.142543792724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865772247314453 × 217)
    floor (0.865772247314453 × 131072)
    floor (113478.5)     		tx = 113478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142543792724609 × 217)
    floor (0.142543792724609 × 131072)
    floor (18683.5)     		ty = 18683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113478 / 18683 ti = "17/113478/18683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113478/18683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113478 ÷ 217
    113478 ÷ 131072     		x = 0.865768432617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18683 ÷ 217
    18683 ÷ 131072     		y = 0.142539978027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.865768432617188 × 2 - 1) × π
    0.731536865234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.29819084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142539978027344 × 2 - 1) × π
    0.714920043945312 × 3.1415926535     		Φ = 2.24598755789849
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29819084} λ = 2.29819084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24598755789849))-π/2
    2×atan(9.44974311840383)-π/2
    2×1.46536573091686-π/2
    2.93073146183371-1.57079632675     		φ = 1.35993514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29819084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.676636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35993514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.918544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113478 KachelY 18683 2.29819084 1.35993514 131.676636 77.918544
    Oben rechts KachelX + 1 113479 KachelY 18683 2.29823878 1.35993514 131.679382 77.918544
    Unten links KachelX 113478 KachelY + 1 18684 2.29819084 1.35992510 131.676636 77.917969
    Unten rechts KachelX + 1 113479 KachelY + 1 18684 2.29823878 1.35992510 131.679382 77.917969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35993514-1.35992510) × R
    1.00399999998224e-05 × 6371000     		dl = 63.9648399988686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35993514-1.35992510) × R
    1.00399999998224e-05 × 6371000     		dr = 63.9648399988686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29819084-2.29823878) × cos(1.35993514) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209302089749374 × 6371000     		do = 63.9262456452071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29819084-2.29823878) × cos(1.35992510) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209311907363158 × 6371000     		du = 63.929244197162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35993514)-sin(1.35992510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209302089749374-0.209311907363158)×R²
    abs(2.29823878-2.29819084)×9.81761378340829e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.81761378340829e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.81761378340829e-06×40589641000000     		ar = 4089.12797550119m²