Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 113477 / 18602
↖ ↑ ↗
← N 77.965019°
E131.673889°		 ← 63.68 m → N 77.965019°
E131.676636°		 →
↑
63.65 m
↓
↑
63.65 m
↓
N 77.964447°
E131.673889°		 ← 63.69 m →
4 053 m²		 N 77.964447°
E131.676636°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865764617919922 y=0.141925811767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865764617919922 × 217)
    floor (0.865764617919922 × 131072)
    floor (113477.5)     		tx = 113477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141925811767578 × 217)
    floor (0.141925811767578 × 131072)
    floor (18602.5)     		ty = 18602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113477 / 18602 ti = "17/113477/18602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113477/18602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113477 ÷ 217
    113477 ÷ 131072     		x = 0.865760803222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18602 ÷ 217
    18602 ÷ 131072     		y = 0.141921997070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.865760803222656 × 2 - 1) × π
    0.731521606445312 × 3.1415926535     		Λ = 2.29814290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141921997070312 × 2 - 1) × π
    0.716156005859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.24987044676772
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29814290} λ = 2.29814290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24987044676772))-π/2
    2×atan(9.48650674913169)-π/2
    2×1.46577130880504-π/2
    2.93154261761008-1.57079632675     		φ = 1.36074629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29814290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.673889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36074629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.965019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113477 KachelY 18602 2.29814290 1.36074629 131.673889 77.965019
    Oben rechts KachelX + 1 113478 KachelY 18602 2.29819084 1.36074629 131.676636 77.965019
    Unten links KachelX 113477 KachelY + 1 18603 2.29814290 1.36073630 131.673889 77.964447
    Unten rechts KachelX + 1 113478 KachelY + 1 18603 2.29819084 1.36073630 131.676636 77.964447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36074629-1.36073630) × R
    9.99000000012629e-06 × 6371000     		dl = 63.6462900008046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36074629-1.36073630) × R
    9.99000000012629e-06 × 6371000     		dr = 63.6462900008046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29814290-2.29819084) × cos(1.36074629) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.208508837117403 × 6371000     		do = 63.6839658730806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29814290-2.29819084) × cos(1.36073630) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.208518607531622 × 6371000     		du = 63.6869500090735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36074629)-sin(1.36073630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208508837117403-0.208518607531622)×R²
    abs(2.29819084-2.29814290)×9.7704142188737e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.7704142188737e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.7704142188737e-06×40589641000000     		ar = 4053.34312494316m²