Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113475 / 18676
↖ ↑ ↗
← N 77.922567°
E131.668396°		 ← 63.91 m → N 77.922567°
E131.671143°		 →
↑
63.90 m
↓
↑
63.90 m
↓
N 77.921993°
E131.668396°		 ← 63.91 m →
4 084 m²		 N 77.921993°
E131.671143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865749359130859 y=0.142490386962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865749359130859 × 217)
    floor (0.865749359130859 × 131072)
    floor (113475.5)     		tx = 113475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142490386962891 × 217)
    floor (0.142490386962891 × 131072)
    floor (18676.5)     		ty = 18676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113475 / 18676 ti = "17/113475/18676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113475/18676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113475 ÷ 217
    113475 ÷ 131072     		x = 0.865745544433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18676 ÷ 217
    18676 ÷ 131072     		y = 0.142486572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.865745544433594 × 2 - 1) × π
    0.731491088867188 × 3.1415926535     		Λ = 2.29804703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142486572265625 × 2 - 1) × π
    0.71502685546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24632311619583
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29804703} λ = 2.29804703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24632311619583))-π/2
    2×atan(9.45291459019203)-π/2
    2×1.46540084168338-π/2
    2.93080168336676-1.57079632675     		φ = 1.36000536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29804703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.668396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36000536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.922567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113475 KachelY 18676 2.29804703 1.36000536 131.668396 77.922567
    Oben rechts KachelX + 1 113476 KachelY 18676 2.29809497 1.36000536 131.671143 77.922567
    Unten links KachelX 113475 KachelY + 1 18677 2.29804703 1.35999533 131.668396 77.921993
    Unten rechts KachelX + 1 113476 KachelY + 1 18677 2.29809497 1.35999533 131.671143 77.921993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36000536-1.35999533) × R
    1.00299999998832e-05 × 6371000     		dl = 63.9011299992558m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36000536-1.35999533) × R
    1.00299999998832e-05 × 6371000     		dr = 63.9011299992558m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29804703-2.29809497) × cos(1.36000536) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209233424534145 × 6371000     		do = 63.9052735210334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29804703-2.29809497) × cos(1.35999533) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209243232516831 × 6371000     		du = 63.9082691314033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36000536)-sin(1.35999533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209233424534145-0.209243232516831)×R²
    abs(2.29809497-2.29804703)×9.80798268632177e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.80798268632177e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.80798268632177e-06×40589641000000     		ar = 4083.71490237902m²