Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113474 / 18587
↖ ↑ ↗
← N 77.973607°
E131.665649°		 ← 63.64 m → N 77.973607°
E131.668396°		 →
↑
63.65 m
↓
↑
63.65 m
↓
N 77.973035°
E131.665649°		 ← 63.64 m →
4 050 m²		 N 77.973035°
E131.668396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865741729736328 y=0.141811370849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865741729736328 × 217)
    floor (0.865741729736328 × 131072)
    floor (113474.5)     		tx = 113474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141811370849609 × 217)
    floor (0.141811370849609 × 131072)
    floor (18587.5)     		ty = 18587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113474 / 18587 ti = "17/113474/18587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113474/18587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113474 ÷ 217
    113474 ÷ 131072     		x = 0.865737915039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18587 ÷ 217
    18587 ÷ 131072     		y = 0.141807556152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.865737915039062 × 2 - 1) × π
    0.731475830078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.29799909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141807556152344 × 2 - 1) × π
    0.716384887695312 × 3.1415926535     		Φ = 2.25058950026202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29799909} λ = 2.29799909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25058950026202))-π/2
    2×atan(9.49333050798818)-π/2
    2×1.46584624695526-π/2
    2.93169249391051-1.57079632675     		φ = 1.36089617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29799909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.665649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36089617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.973607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113474 KachelY 18587 2.29799909 1.36089617 131.665649 77.973607
    Oben rechts KachelX + 1 113475 KachelY 18587 2.29804703 1.36089617 131.668396 77.973607
    Unten links KachelX 113474 KachelY + 1 18588 2.29799909 1.36088618 131.665649 77.973035
    Unten rechts KachelX + 1 113475 KachelY + 1 18588 2.29804703 1.36088618 131.668396 77.973035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36089617-1.36088618) × R
    9.98999999990424e-06 × 6371000     		dl = 63.6462899993899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36089617-1.36088618) × R
    9.98999999990424e-06 × 6371000     		dr = 63.6462899993899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29799909-2.29804703) × cos(1.36089617) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.208362249066012 × 6371000     		do = 63.6391941095988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29799909-2.29804703) × cos(1.36088618) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.208372019792329 × 6371000     		du = 63.6421783409145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36089617)-sin(1.36088618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208362249066012-0.208372019792329)×R²
    abs(2.29804703-2.29799909)×9.77072631674902e-06×R²
    4.79400000004127e-05×9.77072631674902e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×9.77072631674902e-06×40589641000000     		ar = 4050.49357141052m²