Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11346 / 23634
↖ ↑ ↗
← S 62.031835°
W 55.349121°		 ← 572.93 m → S 62.031835°
W 55.338135°		 →
↑
572.82 m
↓
↑
572.82 m
↓
S 62.036986°
W 55.349121°		 ← 572.83 m →
328 153 m²		 S 62.036986°
W 55.338135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346267700195312 y=0.721267700195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346267700195312 × 215)
    floor (0.346267700195312 × 32768)
    floor (11346.5)     		tx = 11346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721267700195312 × 215)
    floor (0.721267700195312 × 32768)
    floor (23634.5)     		ty = 23634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11346 / 23634 ti = "15/11346/23634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11346/23634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11346 ÷ 215
    11346 ÷ 32768     		x = 0.34625244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23634 ÷ 215
    23634 ÷ 32768     		y = 0.72125244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34625244140625 × 2 - 1) × π
    -0.3074951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.96602440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72125244140625 × 2 - 1) × π
    -0.4425048828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.39017008898163
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96602440} λ = -0.96602440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39017008898163))-π/2
    2×atan(0.249032943269457)-π/2
    2×0.244068285187891-π/2
    0.488136570375781-1.57079632675     		φ = -1.08265976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96602440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.349121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08265976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.031835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11346 KachelY 23634 -0.96602440 -1.08265976 -55.349121 -62.031835
    Oben rechts KachelX + 1 11347 KachelY 23634 -0.96583265 -1.08265976 -55.338135 -62.031835
    Unten links KachelX 11346 KachelY + 1 23635 -0.96602440 -1.08274967 -55.349121 -62.036986
    Unten rechts KachelX + 1 11347 KachelY + 1 23635 -0.96583265 -1.08274967 -55.338135 -62.036986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08265976--1.08274967) × R
    8.99100000000264e-05 × 6371000     		dl = 572.816610000168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08265976--1.08274967) × R
    8.99100000000264e-05 × 6371000     		dr = 572.816610000168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96602440--0.96583265) × cos(-1.08265976) × R
    0.000191750000000046 × 0.468980903679497 × 6371000     		do = 572.925479435481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96602440--0.96583265) × cos(-1.08274967) × R
    0.000191750000000046 × 0.468901492525226 × 6371000     		du = 572.828467652535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08265976)-sin(-1.08274967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.468980903679497-0.468901492525226)×R²
    abs(-0.96583265--0.96602440)×7.94111542713472e-05×R²
    0.000191750000000046×7.94111542713472e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.94111542713472e-05×40589641000000     		ar = 328153.446153799m²