Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113456 / 19439
↖ ↑ ↗
← N 77.476157°
E131.616211°		 ← 66.23 m → N 77.476157°
E131.618958°		 →
↑
66.26 m
↓
↑
66.26 m
↓
N 77.475562°
E131.616211°		 ← 66.23 m →
4 388 m²		 N 77.475562°
E131.618958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865604400634766 y=0.148311614990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865604400634766 × 217)
    floor (0.865604400634766 × 131072)
    floor (113456.5)     		tx = 113456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148311614990234 × 217)
    floor (0.148311614990234 × 131072)
    floor (19439.5)     		ty = 19439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113456 / 19439 ti = "17/113456/19439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113456/19439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113456 ÷ 217
    113456 ÷ 131072     		x = 0.8656005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19439 ÷ 217
    19439 ÷ 131072     		y = 0.148307800292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8656005859375 × 2 - 1) × π
    0.731201171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.29713623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148307800292969 × 2 - 1) × π
    0.703384399414062 × 3.1415926535     		Φ = 2.20974726178573
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29713623} λ = 2.29713623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20974726178573))-π/2
    2×atan(9.1134127942733)-π/2
    2×1.46150518303338-π/2
    2.92301036606677-1.57079632675     		φ = 1.35221404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29713623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.616211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35221404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.476157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113456 KachelY 19439 2.29713623 1.35221404 131.616211 77.476157
    Oben rechts KachelX + 1 113457 KachelY 19439 2.29718417 1.35221404 131.618958 77.476157
    Unten links KachelX 113456 KachelY + 1 19440 2.29713623 1.35220364 131.616211 77.475562
    Unten rechts KachelX + 1 113457 KachelY + 1 19440 2.29718417 1.35220364 131.618958 77.475562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35221404-1.35220364) × R
    1.0400000000077e-05 × 6371000     		dl = 66.2584000004907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35221404-1.35220364) × R
    1.0400000000077e-05 × 6371000     		dr = 66.2584000004907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29713623-2.29718417) × cos(1.35221404) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.216845861532599 × 6371000     		do = 66.2303077244881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29713623-2.29718417) × cos(1.35220364) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.216856014061769 × 6371000     		du = 66.2334085682228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35221404)-sin(1.35220364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216845861532599-0.216856014061769)×R²
    abs(2.29718417-2.29713623)×1.01525291701932e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01525291701932e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01525291701932e-05×40589641000000     		ar = 4388.41694995711m²