Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 113447 / 18539
↖ ↑ ↗
← N 78.001045°
E131.591492°		 ← 63.48 m → N 78.001045°
E131.594238°		 →
↑
63.46 m
↓
↑
63.46 m
↓
N 78.000475°
E131.591492°		 ← 63.49 m →
4 028 m²		 N 78.000475°
E131.594238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865535736083984 y=0.141445159912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865535736083984 × 217)
    floor (0.865535736083984 × 131072)
    floor (113447.5)     		tx = 113447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141445159912109 × 217)
    floor (0.141445159912109 × 131072)
    floor (18539.5)     		ty = 18539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113447 / 18539 ti = "17/113447/18539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113447/18539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113447 ÷ 217
    113447 ÷ 131072     		x = 0.865531921386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18539 ÷ 217
    18539 ÷ 131072     		y = 0.141441345214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.865531921386719 × 2 - 1) × π
    0.731063842773438 × 3.1415926535     		Λ = 2.29670480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141441345214844 × 2 - 1) × π
    0.717117309570312 × 3.1415926535     		Φ = 2.25289047144378
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29670480} λ = 2.29670480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25289047144378))-π/2
    2×atan(9.51519953826148)-π/2
    2×1.46608569517813-π/2
    2.93217139035626-1.57079632675     		φ = 1.36137506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29670480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.591492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36137506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.001045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113447 KachelY 18539 2.29670480 1.36137506 131.591492 78.001045
    Oben rechts KachelX + 1 113448 KachelY 18539 2.29675273 1.36137506 131.594238 78.001045
    Unten links KachelX 113447 KachelY + 1 18540 2.29670480 1.36136510 131.591492 78.000475
    Unten rechts KachelX + 1 113448 KachelY + 1 18540 2.29675273 1.36136510 131.594238 78.000475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36137506-1.36136510) × R
    9.96000000008657e-06 × 6371000     		dl = 63.4551600005515m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36137506-1.36136510) × R
    9.96000000008657e-06 × 6371000     		dr = 63.4551600005515m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29670480-2.29675273) × cos(1.36137506) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.20789384600177 × 6371000     		do = 63.4828868396467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29670480-2.29675273) × cos(1.36136510) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.207903588379338 × 6371000     		du = 63.485861791838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36137506)-sin(1.36136510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20789384600177-0.207903588379338)×R²
    abs(2.29675273-2.29670480)×9.74237756845575e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.74237756845575e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.74237756845575e-06×40589641000000     		ar = 4028.4111295796m²