Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113446 / 18530
↖ ↑ ↗
← N 78.006184°
E131.588745°		 ← 63.47 m → N 78.006184°
E131.591492°		 →
↑
63.52 m
↓
↑
63.52 m
↓
N 78.005612°
E131.588745°		 ← 63.47 m →
4 032 m²		 N 78.005612°
E131.591492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865528106689453 y=0.141376495361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865528106689453 × 217)
    floor (0.865528106689453 × 131072)
    floor (113446.5)     		tx = 113446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141376495361328 × 217)
    floor (0.141376495361328 × 131072)
    floor (18530.5)     		ty = 18530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113446 / 18530 ti = "17/113446/18530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113446/18530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113446 ÷ 217
    113446 ÷ 131072     		x = 0.865524291992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18530 ÷ 217
    18530 ÷ 131072     		y = 0.141372680664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.865524291992188 × 2 - 1) × π
    0.731048583984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.29665686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141372680664062 × 2 - 1) × π
    0.717254638671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.25332190354036
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29665686} λ = 2.29665686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25332190354036))-π/2
    2×atan(9.51930558642445)-π/2
    2×1.46613053175492-π/2
    2.93226106350985-1.57079632675     		φ = 1.36146474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29665686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.588745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36146474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.006184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113446 KachelY 18530 2.29665686 1.36146474 131.588745 78.006184
    Oben rechts KachelX + 1 113447 KachelY 18530 2.29670480 1.36146474 131.591492 78.006184
    Unten links KachelX 113446 KachelY + 1 18531 2.29665686 1.36145477 131.588745 78.005612
    Unten rechts KachelX + 1 113447 KachelY + 1 18531 2.29670480 1.36145477 131.591492 78.005612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36146474-1.36145477) × R
    9.97000000002579e-06 × 6371000     		dl = 63.5188700001643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36146474-1.36145477) × R
    9.97000000002579e-06 × 6371000     		dr = 63.5188700001643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29665686-2.29670480) × cos(1.36146474) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207806124548917 × 6371000     		do = 63.4693393668434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29665686-2.29670480) × cos(1.36145477) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207815876893823 × 6371000     		du = 63.4723179840032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36146474)-sin(1.36145477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207806124548917-0.207815876893823)×R²
    abs(2.29670480-2.29665686)×9.75234490660504e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.75234490660504e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.75234490660504e-06×40589641000000     		ar = 4031.59531553012m²