Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113445 / 18545
↖ ↑ ↗
← N 77.997619°
E131.585998°		 ← 63.51 m → N 77.997619°
E131.588745°		 →
↑
63.52 m
↓
↑
63.52 m
↓
N 77.997048°
E131.585998°		 ← 63.52 m →
4 034 m²		 N 77.997048°
E131.588745°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865520477294922 y=0.141490936279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865520477294922 × 217)
    floor (0.865520477294922 × 131072)
    floor (113445.5)     		tx = 113445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141490936279297 × 217)
    floor (0.141490936279297 × 131072)
    floor (18545.5)     		ty = 18545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113445 / 18545 ti = "17/113445/18545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113445/18545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113445 ÷ 217
    113445 ÷ 131072     		x = 0.865516662597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18545 ÷ 217
    18545 ÷ 131072     		y = 0.141487121582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.865516662597656 × 2 - 1) × π
    0.731033325195312 × 3.1415926535     		Λ = 2.29660892
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141487121582031 × 2 - 1) × π
    0.717025756835938 × 3.1415926535     		Φ = 2.25260285004606
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29660892} λ = 2.29660892}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25260285004606))-π/2
    2×atan(9.5124631568105)-π/2
    2×1.46605579361335-π/2
    2.9321115872267-1.57079632675     		φ = 1.36131526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29660892} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.585998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36131526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.997619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113445 KachelY 18545 2.29660892 1.36131526 131.585998 77.997619
    Oben rechts KachelX + 1 113446 KachelY 18545 2.29665686 1.36131526 131.588745 77.997619
    Unten links KachelX 113445 KachelY + 1 18546 2.29660892 1.36130529 131.585998 77.997048
    Unten rechts KachelX + 1 113446 KachelY + 1 18546 2.29665686 1.36130529 131.588745 77.997048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36131526-1.36130529) × R
    9.97000000002579e-06 × 6371000     		dl = 63.5188700001643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36131526-1.36130529) × R
    9.97000000002579e-06 × 6371000     		dr = 63.5188700001643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29660892-2.29665686) × cos(1.36131526) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207952339083354 × 6371000     		do = 63.5139970492226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29660892-2.29665686) × cos(1.36130529) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207962091118448 × 6371000     		du = 63.5169755717576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36131526)-sin(1.36130529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207952339083354-0.207962091118448)×R²
    abs(2.29665686-2.29660892)×9.75203509370748e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.75203509370748e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.75203509370748e-06×40589641000000     		ar = 4034.43191803738m²