Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113439 / 18594
↖ ↑ ↗
← N 77.969600°
E131.569519°		 ← 63.66 m → N 77.969600°
E131.572266°		 →
↑
63.65 m
↓
↑
63.65 m
↓
N 77.969028°
E131.569519°		 ← 63.66 m →
4 052 m²		 N 77.969028°
E131.572266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865474700927734 y=0.141864776611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865474700927734 × 217)
    floor (0.865474700927734 × 131072)
    floor (113439.5)     		tx = 113439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141864776611328 × 217)
    floor (0.141864776611328 × 131072)
    floor (18594.5)     		ty = 18594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113439 / 18594 ti = "17/113439/18594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113439/18594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113439 ÷ 217
    113439 ÷ 131072     		x = 0.865470886230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18594 ÷ 217
    18594 ÷ 131072     		y = 0.141860961914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.865470886230469 × 2 - 1) × π
    0.730941772460938 × 3.1415926535     		Λ = 2.29632130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141860961914062 × 2 - 1) × π
    0.716278076171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.25025394196468
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29632130} λ = 2.29632130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25025394196468))-π/2
    2×atan(9.49014547657857)-π/2
    2×1.46581128237679-π/2
    2.93162256475358-1.57079632675     		φ = 1.36082624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29632130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.569519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36082624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.969600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113439 KachelY 18594 2.29632130 1.36082624 131.569519 77.969600
    Oben rechts KachelX + 1 113440 KachelY 18594 2.29636924 1.36082624 131.572266 77.969600
    Unten links KachelX 113439 KachelY + 1 18595 2.29632130 1.36081625 131.569519 77.969028
    Unten rechts KachelX + 1 113440 KachelY + 1 18595 2.29636924 1.36081625 131.572266 77.969028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36082624-1.36081625) × R
    9.98999999990424e-06 × 6371000     		dl = 63.6462899993899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36082624-1.36081625) × R
    9.98999999990424e-06 × 6371000     		dr = 63.6462899993899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29632130-2.29636924) × cos(1.36082624) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.208430643713489 × 6371000     		do = 63.6600835954168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29632130-2.29636924) × cos(1.36081625) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.208440414294217 × 6371000     		du = 63.6630677822658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36082624)-sin(1.36081625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208430643713489-0.208440414294217)×R²
    abs(2.29636924-2.29632130)×9.7705807274584e-06×R²
    4.79400000004127e-05×9.7705807274584e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×9.7705807274584e-06×40589641000000     		ar = 4051.8231082277m²