Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11343 / 23727
↖ ↑ ↗
← S 62.507247°
W 55.382080°		 ← 563.92 m → S 62.507247°
W 55.371094°		 →
↑
563.90 m
↓
↑
563.90 m
↓
S 62.512318°
W 55.382080°		 ← 563.83 m →
317 968 m²		 S 62.512318°
W 55.371094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346176147460938 y=0.724105834960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346176147460938 × 215)
    floor (0.346176147460938 × 32768)
    floor (11343.5)     		tx = 11343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724105834960938 × 215)
    floor (0.724105834960938 × 32768)
    floor (23727.5)     		ty = 23727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11343 / 23727 ti = "15/11343/23727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11343/23727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11343 ÷ 215
    11343 ÷ 32768     		x = 0.346160888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23727 ÷ 215
    23727 ÷ 32768     		y = 0.724090576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346160888671875 × 2 - 1) × π
    -0.30767822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.96659964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724090576171875 × 2 - 1) × π
    -0.44818115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.40800261564029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96659964} λ = -0.96659964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40800261564029))-π/2
    2×atan(0.244631418463366)-π/2
    2×0.239919532941269-π/2
    0.479839065882538-1.57079632675     		φ = -1.09095726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96659964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.382080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09095726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.507247°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11343 KachelY 23727 -0.96659964 -1.09095726 -55.382080 -62.507247
    Oben rechts KachelX + 1 11344 KachelY 23727 -0.96640790 -1.09095726 -55.371094 -62.507247
    Unten links KachelX 11343 KachelY + 1 23728 -0.96659964 -1.09104577 -55.382080 -62.512318
    Unten rechts KachelX + 1 11344 KachelY + 1 23728 -0.96640790 -1.09104577 -55.371094 -62.512318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09095726--1.09104577) × R
    8.85100000000971e-05 × 6371000     		dl = 563.897210000619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09095726--1.09104577) × R
    8.85100000000971e-05 × 6371000     		dr = 563.897210000619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96659964--0.96640790) × cos(-1.09095726) × R
    0.000191739999999996 × 0.461636422626342 × 6371000     		do = 563.923762253429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96659964--0.96640790) × cos(-1.09104577) × R
    0.000191739999999996 × 0.461557906320937 × 6371000     		du = 563.827848655256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09095726)-sin(-1.09104577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461636422626342-0.461557906320937)×R²
    abs(-0.96640790--0.96659964)×7.8516305404619e-05×R²
    0.000191739999999996×7.8516305404619e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.8516305404619e-05×40589641000000     		ar = 317967.993689596m²