Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113421 / 18556
↖ ↑ ↗
← N 77.991335°
E131.520081°		 ← 63.55 m → N 77.991335°
E131.522827°		 →
↑
63.58 m
↓
↑
63.58 m
↓
N 77.990763°
E131.520081°		 ← 63.55 m →
4 041 m²		 N 77.990763°
E131.522827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865337371826172 y=0.141574859619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865337371826172 × 217)
    floor (0.865337371826172 × 131072)
    floor (113421.5)     		tx = 113421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141574859619141 × 217)
    floor (0.141574859619141 × 131072)
    floor (18556.5)     		ty = 18556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113421 / 18556 ti = "17/113421/18556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113421/18556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113421 ÷ 217
    113421 ÷ 131072     		x = 0.865333557128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18556 ÷ 217
    18556 ÷ 131072     		y = 0.141571044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.865333557128906 × 2 - 1) × π
    0.730667114257812 × 3.1415926535     		Λ = 2.29545844
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141571044921875 × 2 - 1) × π
    0.71685791015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.25207554415024
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29545844} λ = 2.29545844}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25207554415024))-π/2
    2×atan(9.50744850114908)-π/2
    2×1.46600095222456-π/2
    2.93200190444912-1.57079632675     		φ = 1.36120558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29545844} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.520081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36120558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.991335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113421 KachelY 18556 2.29545844 1.36120558 131.520081 77.991335
    Oben rechts KachelX + 1 113422 KachelY 18556 2.29550638 1.36120558 131.522827 77.991335
    Unten links KachelX 113421 KachelY + 1 18557 2.29545844 1.36119560 131.520081 77.990763
    Unten rechts KachelX + 1 113422 KachelY + 1 18557 2.29550638 1.36119560 131.522827 77.990763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36120558-1.36119560) × R
    9.97999999996502e-06 × 6371000     		dl = 63.5825799997771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36120558-1.36119560) × R
    9.97999999996502e-06 × 6371000     		dr = 63.5825799997771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29545844-2.29550638) × cos(1.36120558) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.208059620113447 × 6371000     		do = 63.5467634372267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29545844-2.29550638) × cos(1.36119560) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.208069381702219 × 6371000     		du = 63.5497448777011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36120558)-sin(1.36119560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208059620113447-0.208069381702219)×R²
    abs(2.29550638-2.29545844)×9.76158877247224e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.76158877247224e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.76158877247224e-06×40589641000000     		ar = 4040.56195387036m²