Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 11342 / 23822
↖ ↑ ↗
← S 62.985180°
W 55.393066°		 ← 554.89 m → S 62.985180°
W 55.382080°		 →
↑
554.79 m
↓
↑
554.79 m
↓
S 62.990169°
W 55.393066°		 ← 554.80 m →
307 822 m²		 S 62.990169°
W 55.382080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346145629882812 y=0.727005004882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346145629882812 × 215)
    floor (0.346145629882812 × 32768)
    floor (11342.5)     		tx = 11342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727005004882812 × 215)
    floor (0.727005004882812 × 32768)
    floor (23822.5)     		ty = 23822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11342 / 23822 ti = "15/11342/23822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11342/23822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11342 ÷ 215
    11342 ÷ 32768     		x = 0.34613037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23822 ÷ 215
    23822 ÷ 32768     		y = 0.72698974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34613037109375 × 2 - 1) × π
    -0.3077392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96679139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72698974609375 × 2 - 1) × π
    -0.4539794921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.42621863749591
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96679139} λ = -0.96679139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42621863749591))-π/2
    2×atan(0.240215549091306)-π/2
    2×0.235748780404487-π/2
    0.471497560808974-1.57079632675     		φ = -1.09929877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96679139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.393066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09929877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.985180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11342 KachelY 23822 -0.96679139 -1.09929877 -55.393066 -62.985180
    Oben rechts KachelX + 1 11343 KachelY 23822 -0.96659964 -1.09929877 -55.382080 -62.985180
    Unten links KachelX 11342 KachelY + 1 23823 -0.96679139 -1.09938585 -55.393066 -62.990169
    Unten rechts KachelX + 1 11343 KachelY + 1 23823 -0.96659964 -1.09938585 -55.382080 -62.990169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09929877--1.09938585) × R
    8.70799999999061e-05 × 6371000     		dl = 554.786679999402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09929877--1.09938585) × R
    8.70799999999061e-05 × 6371000     		dr = 554.786679999402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96679139--0.96659964) × cos(-1.09929877) × R
    0.000191750000000046 × 0.454220951189522 × 6371000     		do = 554.894142145588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96679139--0.96659964) × cos(-1.09938585) × R
    0.000191750000000046 × 0.454143370847611 × 6371000     		du = 554.799366954881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09929877)-sin(-1.09938585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454220951189522-0.454143370847611)×R²
    abs(-0.96659964--0.96679139)×7.75803419107435e-05×R²
    0.000191750000000046×7.75803419107435e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.75803419107435e-05×40589641000000     		ar = 307821.589060183m²