Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113410 / 19206
↖ ↑ ↗
← N 77.614175°
E131.489868°		 ← 65.51 m → N 77.614175°
E131.492615°		 →
↑
65.56 m
↓
↑
65.56 m
↓
N 77.613585°
E131.489868°		 ← 65.51 m →
4 295 m²		 N 77.613585°
E131.492615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865253448486328 y=0.146533966064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865253448486328 × 217)
    floor (0.865253448486328 × 131072)
    floor (113410.5)     		tx = 113410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146533966064453 × 217)
    floor (0.146533966064453 × 131072)
    floor (19206.5)     		ty = 19206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113410 / 19206 ti = "17/113410/19206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113410/19206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113410 ÷ 217
    113410 ÷ 131072     		x = 0.865249633789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19206 ÷ 217
    19206 ÷ 131072     		y = 0.146530151367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.865249633789062 × 2 - 1) × π
    0.730499267578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.29493113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146530151367188 × 2 - 1) × π
    0.706939697265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.2209165593972
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29493113} λ = 2.29493113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2209165593972))-π/2
    2×atan(9.21577380014483)-π/2
    2×1.46270961164806-π/2
    2.92541922329612-1.57079632675     		φ = 1.35462290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29493113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.489868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35462290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.614175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113410 KachelY 19206 2.29493113 1.35462290 131.489868 77.614175
    Oben rechts KachelX + 1 113411 KachelY 19206 2.29497907 1.35462290 131.492615 77.614175
    Unten links KachelX 113410 KachelY + 1 19207 2.29493113 1.35461261 131.489868 77.613585
    Unten rechts KachelX + 1 113411 KachelY + 1 19207 2.29497907 1.35461261 131.492615 77.613585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35462290-1.35461261) × R
    1.02900000000794e-05 × 6371000     		dl = 65.5575900005059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35462290-1.35461261) × R
    1.02900000000794e-05 × 6371000     		dr = 65.5575900005059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29493113-2.29497907) × cos(1.35462290) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.214493691434371 × 6371000     		do = 65.5118944316313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29493113-2.29497907) × cos(1.35461261) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.214503741927114 × 6371000     		du = 65.5149641108148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35462290)-sin(1.35461261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214493691434371-0.214503741927114)×R²
    abs(2.29497907-2.29493113)×1.00504927432465e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00504927432465e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00504927432465e-05×40589641000000     		ar = 4294.90253570104m²