Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11341 / 5199
↖ ↑ ↗
← N 54.788017°
E 69.191895°		 ← 1 408.77 m → N 54.788017°
E 69.213867°		 →
↑
1 409.01 m
↓
↑
1 409.01 m
↓
N 54.775346°
E 69.191895°		 ← 1 409.21 m →
1 985 276 m²		 N 54.775346°
E 69.213867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.692230224609375 y=0.317352294921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.692230224609375 × 214)
    floor (0.692230224609375 × 16384)
    floor (11341.5)     		tx = 11341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317352294921875 × 214)
    floor (0.317352294921875 × 16384)
    floor (5199.5)     		ty = 5199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11341 / 5199 ti = "14/11341/5199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11341/5199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11341 ÷ 214
    11341 ÷ 16384     		x = 0.69219970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5199 ÷ 214
    5199 ÷ 16384     		y = 0.31732177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69219970703125 × 2 - 1) × π
    0.3843994140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.20762638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31732177734375 × 2 - 1) × π
    0.3653564453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.14780112450262
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20762638} λ = 1.20762638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14780112450262))-π/2
    2×atan(3.15125606610736)-π/2
    2×1.26351381007074-π/2
    2.52702762014147-1.57079632675     		φ = 0.95623129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20762638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 69.191895°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95623129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.788017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11341 KachelY 5199 1.20762638 0.95623129 69.191895 54.788017
    Oben rechts KachelX + 1 11342 KachelY 5199 1.20800987 0.95623129 69.213867 54.788017
    Unten links KachelX 11341 KachelY + 1 5200 1.20762638 0.95601013 69.191895 54.775346
    Unten rechts KachelX + 1 11342 KachelY + 1 5200 1.20800987 0.95601013 69.213867 54.775346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95623129-0.95601013) × R
    0.000221159999999943 × 6371000     		dl = 1409.01035999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95623129-0.95601013) × R
    0.000221159999999943 × 6371000     		dr = 1409.01035999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20762638-1.20800987) × cos(0.95623129) × R
    0.000383489999999931 × 0.576603201322039 × 6371000     		do = 1408.7654694311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20762638-1.20800987) × cos(0.95601013) × R
    0.000383489999999931 × 0.576783880319027 × 6371000     		du = 1409.20690702878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95623129)-sin(0.95601013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576603201322039-0.576783880319027)×R²
    abs(1.20800987-1.20762638)×0.00018067899698837×R²
    0.000383489999999931×0.00018067899698837×6371000²
    0.000383489999999931×0.00018067899698837×40589641000000     		ar = 1985276.14440328m²