Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11341 / 23739
↖ ↑ ↗
← S 62.568045°
W 55.404053°		 ← 562.80 m → S 62.568045°
W 55.393066°		 →
↑
562.75 m
↓
↑
562.75 m
↓
S 62.573106°
W 55.404053°		 ← 562.71 m →
316 691 m²		 S 62.573106°
W 55.393066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346115112304688 y=0.724472045898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346115112304688 × 215)
    floor (0.346115112304688 × 32768)
    floor (11341.5)     		tx = 11341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724472045898438 × 215)
    floor (0.724472045898438 × 32768)
    floor (23739.5)     		ty = 23739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11341 / 23739 ti = "15/11341/23739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11341/23739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11341 ÷ 215
    11341 ÷ 32768     		x = 0.346099853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23739 ÷ 215
    23739 ÷ 32768     		y = 0.724456787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346099853515625 × 2 - 1) × π
    -0.30780029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.96698314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724456787109375 × 2 - 1) × π
    -0.44891357421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.41030358682205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96698314} λ = -0.96698314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41030358682205))-π/2
    2×atan(0.244069175719569)-π/2
    2×0.239388968646556-π/2
    0.478777937293111-1.57079632675     		φ = -1.09201839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96698314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.404053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09201839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.568045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11341 KachelY 23739 -0.96698314 -1.09201839 -55.404053 -62.568045
    Oben rechts KachelX + 1 11342 KachelY 23739 -0.96679139 -1.09201839 -55.393066 -62.568045
    Unten links KachelX 11341 KachelY + 1 23740 -0.96698314 -1.09210672 -55.404053 -62.573106
    Unten rechts KachelX + 1 11342 KachelY + 1 23740 -0.96679139 -1.09210672 -55.393066 -62.573106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09201839--1.09210672) × R
    8.83300000000808e-05 × 6371000     		dl = 562.750430000515m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09201839--1.09210672) × R
    8.83300000000808e-05 × 6371000     		dr = 562.750430000515m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96698314--0.96679139) × cos(-1.09201839) × R
    0.000191749999999935 × 0.460694867133695 × 6371000     		do = 562.802931963866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96698314--0.96679139) × cos(-1.09210672) × R
    0.000191749999999935 × 0.460616467286889 × 6371000     		du = 562.707155633815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09201839)-sin(-1.09210672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460694867133695-0.460616467286889)×R²
    abs(-0.96679139--0.96698314)×7.83998468054103e-05×R²
    0.000191749999999935×7.83998468054103e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.83998468054103e-05×40589641000000     		ar = 316690.64308864m²