Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 11340 / 23748
↖ ↑ ↗
← S 62.613562°
W 55.415039°		 ← 561.94 m → S 62.613562°
W 55.404053°		 →
↑
561.86 m
↓
↑
561.86 m
↓
S 62.618615°
W 55.415039°		 ← 561.85 m →
315 705 m²		 S 62.618615°
W 55.404053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346084594726562 y=0.724746704101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346084594726562 × 215)
    floor (0.346084594726562 × 32768)
    floor (11340.5)     		tx = 11340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724746704101562 × 215)
    floor (0.724746704101562 × 32768)
    floor (23748.5)     		ty = 23748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11340 / 23748 ti = "15/11340/23748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11340/23748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11340 ÷ 215
    11340 ÷ 32768     		x = 0.3460693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23748 ÷ 215
    23748 ÷ 32768     		y = 0.7247314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3460693359375 × 2 - 1) × π
    -0.307861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96717489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7247314453125 × 2 - 1) × π
    -0.449462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.41202931520837
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96717489} λ = -0.96717489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41202931520837))-π/2
    2×atan(0.243648341841729)-π/2
    2×0.238991755863277-π/2
    0.477983511726553-1.57079632675     		φ = -1.09281282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96717489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.415039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09281282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.613562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11340 KachelY 23748 -0.96717489 -1.09281282 -55.415039 -62.613562
    Oben rechts KachelX + 1 11341 KachelY 23748 -0.96698314 -1.09281282 -55.404053 -62.613562
    Unten links KachelX 11340 KachelY + 1 23749 -0.96717489 -1.09290101 -55.415039 -62.618615
    Unten rechts KachelX + 1 11341 KachelY + 1 23749 -0.96698314 -1.09290101 -55.404053 -62.618615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09281282--1.09290101) × R
    8.81900000000435e-05 × 6371000     		dl = 561.858490000277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09281282--1.09290101) × R
    8.81900000000435e-05 × 6371000     		dr = 561.858490000277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96717489--0.96698314) × cos(-1.09281282) × R
    0.000191750000000046 × 0.459989618665619 × 6371000     		do = 561.941372754588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96717489--0.96698314) × cos(-1.09290101) × R
    0.000191750000000046 × 0.459911310833511 × 6371000     		du = 561.845708833303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09281282)-sin(-1.09290101))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459989618665619-0.459911310833511)×R²
    abs(-0.96698314--0.96717489)×7.83078321081598e-05×R²
    0.000191750000000046×7.83078321081598e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.83078321081598e-05×40589641000000     		ar = 315704.656576795m²