Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11339 / 23741
↖ ↑ ↗
← S 62.578166°
W 55.426025°		 ← 562.58 m → S 62.578166°
W 55.415039°		 →
↑
562.56 m
↓
↑
562.56 m
↓
S 62.583225°
W 55.426025°		 ← 562.49 m →
316 459 m²		 S 62.583225°
W 55.415039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346054077148438 y=0.724533081054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346054077148438 × 215)
    floor (0.346054077148438 × 32768)
    floor (11339.5)     		tx = 11339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724533081054688 × 215)
    floor (0.724533081054688 × 32768)
    floor (23741.5)     		ty = 23741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11339 / 23741 ti = "15/11339/23741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11339/23741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11339 ÷ 215
    11339 ÷ 32768     		x = 0.346038818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23741 ÷ 215
    23741 ÷ 32768     		y = 0.724517822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346038818359375 × 2 - 1) × π
    -0.30792236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96736663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724517822265625 × 2 - 1) × π
    -0.44903564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.41068708201901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96736663} λ = -0.96736663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41068708201901))-π/2
    2×atan(0.243975594308112)-π/2
    2×0.239300646544671-π/2
    0.478601293089343-1.57079632675     		φ = -1.09219503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96736663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.426025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09219503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.578166°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11339 KachelY 23741 -0.96736663 -1.09219503 -55.426025 -62.578166
    Oben rechts KachelX + 1 11340 KachelY 23741 -0.96717489 -1.09219503 -55.415039 -62.578166
    Unten links KachelX 11339 KachelY + 1 23742 -0.96736663 -1.09228333 -55.426025 -62.583225
    Unten rechts KachelX + 1 11340 KachelY + 1 23742 -0.96717489 -1.09228333 -55.415039 -62.583225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09219503--1.09228333) × R
    8.83000000000411e-05 × 6371000     		dl = 562.559300000262m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09219503--1.09228333) × R
    8.83000000000411e-05 × 6371000     		dr = 562.559300000262m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96736663--0.96717489) × cos(-1.09219503) × R
    0.000191739999999996 × 0.460538081599067 × 6371000     		do = 562.582055719931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96736663--0.96717489) × cos(-1.09228333) × R
    0.000191739999999996 × 0.460459701196471 × 6371000     		du = 562.486308137306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09219503)-sin(-1.09228333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460538081599067-0.460459701196471)×R²
    abs(-0.96717489--0.96736663)×7.83804025950574e-05×R²
    0.000191739999999996×7.83804025950574e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.83804025950574e-05×40589641000000     		ar = 316458.835817271m²