Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11339 / 23609
↖ ↑ ↗
← S 61.902752°
W 55.426025°		 ← 575.32 m → S 61.902752°
W 55.415039°		 →
↑
575.30 m
↓
↑
575.30 m
↓
S 61.907926°
W 55.426025°		 ← 575.23 m →
330 957 m²		 S 61.907926°
W 55.415039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346054077148438 y=0.720504760742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346054077148438 × 215)
    floor (0.346054077148438 × 32768)
    floor (11339.5)     		tx = 11339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720504760742188 × 215)
    floor (0.720504760742188 × 32768)
    floor (23609.5)     		ty = 23609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11339 / 23609 ti = "15/11339/23609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11339/23609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11339 ÷ 215
    11339 ÷ 32768     		x = 0.346038818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23609 ÷ 215
    23609 ÷ 32768     		y = 0.720489501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346038818359375 × 2 - 1) × π
    -0.30792236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96736663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720489501953125 × 2 - 1) × π
    -0.44097900390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.38537639901962
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96736663} λ = -0.96736663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38537639901962))-π/2
    2×atan(0.250229595889107)-π/2
    2×0.245194741698954-π/2
    0.490389483397908-1.57079632675     		φ = -1.08040684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96736663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.426025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08040684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.902752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11339 KachelY 23609 -0.96736663 -1.08040684 -55.426025 -61.902752
    Oben rechts KachelX + 1 11340 KachelY 23609 -0.96717489 -1.08040684 -55.415039 -61.902752
    Unten links KachelX 11339 KachelY + 1 23610 -0.96736663 -1.08049714 -55.426025 -61.907926
    Unten rechts KachelX + 1 11340 KachelY + 1 23610 -0.96717489 -1.08049714 -55.415039 -61.907926
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08040684--1.08049714) × R
    9.03000000000986e-05 × 6371000     		dl = 575.301300000628m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08040684--1.08049714) × R
    9.03000000000986e-05 × 6371000     		dr = 575.301300000628m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96736663--0.96717489) × cos(-1.08040684) × R
    0.000191739999999996 × 0.470969509462637 × 6371000     		do = 575.324832845343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96736663--0.96717489) × cos(-1.08049714) × R
    0.000191739999999996 × 0.470889849443713 × 6371000     		du = 575.22752211471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08040684)-sin(-1.08049714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.470969509462637-0.470889849443713)×R²
    abs(-0.96717489--0.96736663)×7.96600189233443e-05×R²
    0.000191739999999996×7.96600189233443e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.96600189233443e-05×40589641000000     		ar = 330957.132988041m²