Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113375 / 18401
↖ ↑ ↗
← N 78.079589°
E131.393738°		 ← 63.09 m → N 78.079589°
E131.396484°		 →
↑
63.07 m
↓
↑
63.07 m
↓
N 78.079021°
E131.393738°		 ← 63.09 m →
3 979 m²		 N 78.079021°
E131.396484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.864986419677734 y=0.140392303466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.864986419677734 × 217)
    floor (0.864986419677734 × 131072)
    floor (113375.5)     		tx = 113375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140392303466797 × 217)
    floor (0.140392303466797 × 131072)
    floor (18401.5)     		ty = 18401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113375 / 18401 ti = "17/113375/18401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113375/18401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113375 ÷ 217
    113375 ÷ 131072     		x = 0.864982604980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18401 ÷ 217
    18401 ÷ 131072     		y = 0.140388488769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.864982604980469 × 2 - 1) × π
    0.729965209960938 × 3.1415926535     		Λ = 2.29325334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140388488769531 × 2 - 1) × π
    0.719223022460938 × 3.1415926535     		Φ = 2.25950576359135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29325334} λ = 2.29325334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25950576359135))-π/2
    2×atan(9.57835402542681)-π/2
    2×1.46677111423265-π/2
    2.93354222846529-1.57079632675     		φ = 1.36274590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29325334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.393738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36274590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.079589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113375 KachelY 18401 2.29325334 1.36274590 131.393738 78.079589
    Oben rechts KachelX + 1 113376 KachelY 18401 2.29330128 1.36274590 131.396484 78.079589
    Unten links KachelX 113375 KachelY + 1 18402 2.29325334 1.36273600 131.393738 78.079021
    Unten rechts KachelX + 1 113376 KachelY + 1 18402 2.29330128 1.36273600 131.396484 78.079021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36274590-1.36273600) × R
    9.90000000000713e-06 × 6371000     		dl = 63.0729000000454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36274590-1.36273600) × R
    9.90000000000713e-06 × 6371000     		dr = 63.0729000000454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29325334-2.29330128) × cos(1.36274590) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206552762028072 × 6371000     		do = 63.0865301914266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29325334-2.29330128) × cos(1.36273600) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20656244852904 × 6371000     		du = 63.0894886981526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36274590)-sin(1.36273600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206552762028072-0.20656244852904)×R²
    abs(2.29330128-2.29325334)×9.6865009677205e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.6865009677205e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.6865009677205e-06×40589641000000     		ar = 3979.14371081773m²