Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113373 / 18593
↖ ↑ ↗
← N 77.970173°
E131.388245°		 ← 63.64 m → N 77.970173°
E131.390991°		 →
↑
63.65 m
↓
↑
63.65 m
↓
N 77.969600°
E131.388245°		 ← 63.65 m →
4 051 m²		 N 77.969600°
E131.390991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.864971160888672 y=0.141857147216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.864971160888672 × 217)
    floor (0.864971160888672 × 131072)
    floor (113373.5)     		tx = 113373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141857147216797 × 217)
    floor (0.141857147216797 × 131072)
    floor (18593.5)     		ty = 18593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113373 / 18593 ti = "17/113373/18593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113373/18593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113373 ÷ 217
    113373 ÷ 131072     		x = 0.864967346191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18593 ÷ 217
    18593 ÷ 131072     		y = 0.141853332519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.864967346191406 × 2 - 1) × π
    0.729934692382812 × 3.1415926535     		Λ = 2.29315747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141853332519531 × 2 - 1) × π
    0.716293334960938 × 3.1415926535     		Φ = 2.2503018788643
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29315747} λ = 2.29315747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2503018788643))-π/2
    2×atan(9.49060041563376)-π/2
    2×1.46581627801915-π/2
    2.9316325560383-1.57079632675     		φ = 1.36083623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29315747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.388245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36083623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.970173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113373 KachelY 18593 2.29315747 1.36083623 131.388245 77.970173
    Oben rechts KachelX + 1 113374 KachelY 18593 2.29320540 1.36083623 131.390991 77.970173
    Unten links KachelX 113373 KachelY + 1 18594 2.29315747 1.36082624 131.388245 77.969600
    Unten rechts KachelX + 1 113374 KachelY + 1 18594 2.29320540 1.36082624 131.390991 77.969600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36083623-1.36082624) × R
    9.99000000012629e-06 × 6371000     		dl = 63.6462900008046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36083623-1.36082624) × R
    9.99000000012629e-06 × 6371000     		dr = 63.6462900008046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29315747-2.29320540) × cos(1.36083623) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.20842087311196 × 6371000     		do = 63.6438209078796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29315747-2.29320540) × cos(1.36082624) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.208430643713489 × 6371000     		du = 63.6468044785968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36083623)-sin(1.36082624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20842087311196-0.208430643713489)×R²
    abs(2.29320540-2.29315747)×9.77060152906883e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.77060152906883e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.77060152906883e-06×40589641000000     		ar = 4050.78802879707m²