Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113359 / 18386
↖ ↑ ↗
← N 78.088095°
E131.349792°		 ← 63.04 m → N 78.088095°
E131.352539°		 →
↑
63.01 m
↓
↑
63.01 m
↓
N 78.087529°
E131.349792°		 ← 63.05 m →
3 972 m²		 N 78.087529°
E131.352539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.864864349365234 y=0.140277862548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.864864349365234 × 217)
    floor (0.864864349365234 × 131072)
    floor (113359.5)     		tx = 113359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140277862548828 × 217)
    floor (0.140277862548828 × 131072)
    floor (18386.5)     		ty = 18386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113359 / 18386 ti = "17/113359/18386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113359/18386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113359 ÷ 217
    113359 ÷ 131072     		x = 0.864860534667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18386 ÷ 217
    18386 ÷ 131072     		y = 0.140274047851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.864860534667969 × 2 - 1) × π
    0.729721069335938 × 3.1415926535     		Λ = 2.29248635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140274047851562 × 2 - 1) × π
    0.719451904296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26022481708565
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29248635} λ = 2.29248635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26022481708565))-π/2
    2×atan(9.58524385113821)-π/2
    2×1.4668453493574-π/2
    2.93369069871481-1.57079632675     		φ = 1.36289437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29248635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.349792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36289437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.088095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113359 KachelY 18386 2.29248635 1.36289437 131.349792 78.088095
    Oben rechts KachelX + 1 113360 KachelY 18386 2.29253429 1.36289437 131.352539 78.088095
    Unten links KachelX 113359 KachelY + 1 18387 2.29248635 1.36288448 131.349792 78.087529
    Unten rechts KachelX + 1 113360 KachelY + 1 18387 2.29253429 1.36288448 131.352539 78.087529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36289437-1.36288448) × R
    9.8900000000679e-06 × 6371000     		dl = 63.0091900004326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36289437-1.36288448) × R
    9.8900000000679e-06 × 6371000     		dr = 63.0091900004326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29248635-2.29253429) × cos(1.36289437) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206407491438764 × 6371000     		do = 63.0421608141868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29248635-2.29253429) × cos(1.36288448) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206417168458593 × 6371000     		du = 63.0451164251292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36289437)-sin(1.36288448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206407491438764-0.206417168458593)×R²
    abs(2.29253429-2.29248635)×9.67701982956815e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.67701982956815e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.67701982956815e-06×40589641000000     		ar = 3972.32860417723m²