Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11334 / 23831
↖ ↑ ↗
← S 63.030057°
W 55.480957°		 ← 554.04 m → S 63.030057°
W 55.469970°		 →
↑
553.96 m
↓
↑
553.96 m
↓
S 63.035039°
W 55.480957°		 ← 553.95 m →
306 890 m²		 S 63.035039°
W 55.469970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345901489257812 y=0.727279663085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345901489257812 × 215)
    floor (0.345901489257812 × 32768)
    floor (11334.5)     		tx = 11334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727279663085938 × 215)
    floor (0.727279663085938 × 32768)
    floor (23831.5)     		ty = 23831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11334 / 23831 ti = "15/11334/23831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11334/23831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11334 ÷ 215
    11334 ÷ 32768     		x = 0.34588623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23831 ÷ 215
    23831 ÷ 32768     		y = 0.727264404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34588623046875 × 2 - 1) × π
    -0.3082275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.96832537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727264404296875 × 2 - 1) × π
    -0.45452880859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.42794436588223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96832537} λ = -0.96832537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42794436588223))-π/2
    2×atan(0.239801359791312)-π/2
    2×0.23535715057629-π/2
    0.47071430115258-1.57079632675     		φ = -1.10008203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96832537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.480957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10008203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.030057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11334 KachelY 23831 -0.96832537 -1.10008203 -55.480957 -63.030057
    Oben rechts KachelX + 1 11335 KachelY 23831 -0.96813362 -1.10008203 -55.469970 -63.030057
    Unten links KachelX 11334 KachelY + 1 23832 -0.96832537 -1.10016898 -55.480957 -63.035039
    Unten rechts KachelX + 1 11335 KachelY + 1 23832 -0.96813362 -1.10016898 -55.469970 -63.035039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10008203--1.10016898) × R
    8.69500000000301e-05 × 6371000     		dl = 553.958450000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10008203--1.10016898) × R
    8.69500000000301e-05 × 6371000     		dr = 553.958450000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96832537--0.96813362) × cos(-1.10008203) × R
    0.000191749999999935 × 0.453523014159807 × 6371000     		do = 554.041514875739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96832537--0.96813362) × cos(-1.10016898) × R
    0.000191749999999935 × 0.453445518730545 × 6371000     		du = 553.946843417656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10008203)-sin(-1.10016898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453523014159807-0.453445518730545)×R²
    abs(-0.96813362--0.96832537)×7.7495429262775e-05×R²
    0.000191749999999935×7.7495429262775e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.7495429262775e-05×40589641000000     		ar = 306889.756981876m²