Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113327 / 18369
↖ ↑ ↗
← N 78.097729°
E131.261902°		 ← 62.99 m → N 78.097729°
E131.264649°		 →
↑
62.95 m
↓
↑
62.95 m
↓
N 78.097163°
E131.261902°		 ← 62.99 m →
3 965 m²		 N 78.097163°
E131.264649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.864620208740234 y=0.140148162841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.864620208740234 × 217)
    floor (0.864620208740234 × 131072)
    floor (113327.5)     		tx = 113327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140148162841797 × 217)
    floor (0.140148162841797 × 131072)
    floor (18369.5)     		ty = 18369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113327 / 18369 ti = "17/113327/18369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113327/18369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113327 ÷ 217
    113327 ÷ 131072     		x = 0.864616394042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18369 ÷ 217
    18369 ÷ 131072     		y = 0.140144348144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.864616394042969 × 2 - 1) × π
    0.729232788085938 × 3.1415926535     		Λ = 2.29095237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140144348144531 × 2 - 1) × π
    0.719711303710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.26103974437919
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29095237} λ = 2.29095237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26103974437919))-π/2
    2×atan(9.59305831164385)-π/2
    2×1.46692941938315-π/2
    2.93385883876629-1.57079632675     		φ = 1.36306251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29095237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.261902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36306251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.097729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113327 KachelY 18369 2.29095237 1.36306251 131.261902 78.097729
    Oben rechts KachelX + 1 113328 KachelY 18369 2.29100031 1.36306251 131.264649 78.097729
    Unten links KachelX 113327 KachelY + 1 18370 2.29095237 1.36305263 131.261902 78.097163
    Unten rechts KachelX + 1 113328 KachelY + 1 18370 2.29100031 1.36305263 131.264649 78.097163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36306251-1.36305263) × R
    9.87999999990663e-06 × 6371000     		dl = 62.9454799994051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36306251-1.36305263) × R
    9.87999999990663e-06 × 6371000     		dr = 62.9454799994051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29095237-2.29100031) × cos(1.36306251) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206242969228487 × 6371000     		do = 62.9919114963665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29095237-2.29100031) × cos(1.36305263) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206252636806436 × 6371000     		du = 62.9948642235155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36306251)-sin(1.36305263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206242969228487-0.206252636806436)×R²
    abs(2.29100031-2.29095237)×9.66757794890194e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.66757794890194e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.66757794890194e-06×40589641000000     		ar = 3965.14903580135m²