Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 11332 / 23759
↖ ↑ ↗
← S 62.669100°
W 55.502930°		 ← 560.89 m → S 62.669100°
W 55.491943°		 →
↑
560.84 m
↓
↑
560.84 m
↓
S 62.674144°
W 55.502930°		 ← 560.79 m →
314 542 m²		 S 62.674144°
W 55.491943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345840454101562 y=0.725082397460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345840454101562 × 215)
    floor (0.345840454101562 × 32768)
    floor (11332.5)     		tx = 11332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725082397460938 × 215)
    floor (0.725082397460938 × 32768)
    floor (23759.5)     		ty = 23759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11332 / 23759 ti = "15/11332/23759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11332/23759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11332 ÷ 215
    11332 ÷ 32768     		x = 0.3458251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23759 ÷ 215
    23759 ÷ 32768     		y = 0.725067138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3458251953125 × 2 - 1) × π
    -0.308349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.96870887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725067138671875 × 2 - 1) × π
    -0.45013427734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.41413853879166
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96870887} λ = -0.96870887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41413853879166))-π/2
    2×atan(0.243134974606552)-π/2
    2×0.238507099440195-π/2
    0.47701419888039-1.57079632675     		φ = -1.09378213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96870887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.502930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09378213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.669100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11332 KachelY 23759 -0.96870887 -1.09378213 -55.502930 -62.669100
    Oben rechts KachelX + 1 11333 KachelY 23759 -0.96851712 -1.09378213 -55.491943 -62.669100
    Unten links KachelX 11332 KachelY + 1 23760 -0.96870887 -1.09387016 -55.502930 -62.674144
    Unten rechts KachelX + 1 11333 KachelY + 1 23760 -0.96851712 -1.09387016 -55.491943 -62.674144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09378213--1.09387016) × R
    8.80300000001277e-05 × 6371000     		dl = 560.839130000814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09378213--1.09387016) × R
    8.80300000001277e-05 × 6371000     		dr = 560.839130000814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96870887--0.96851712) × cos(-1.09378213) × R
    0.000191750000000046 × 0.459128728809272 × 6371000     		do = 560.889675916147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96870887--0.96851712) × cos(-1.09387016) × R
    0.000191750000000046 × 0.459050523841437 × 6371000     		du = 560.794137657895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09378213)-sin(-1.09387016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459128728809272-0.459050523841437)×R²
    abs(-0.96851712--0.96870887)×7.82049678347274e-05×R²
    0.000191750000000046×7.82049678347274e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.82049678347274e-05×40589641000000     		ar = 314542.087273257m²