Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113318 / 18589
↖ ↑ ↗
← N 77.972462°
E131.237183°		 ← 63.63 m → N 77.972462°
E131.239929°		 →
↑
63.65 m
↓
↑
63.65 m
↓
N 77.971890°
E131.237183°		 ← 63.63 m →
4 050 m²		 N 77.971890°
E131.239929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.864551544189453 y=0.141826629638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.864551544189453 × 217)
    floor (0.864551544189453 × 131072)
    floor (113318.5)     		tx = 113318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141826629638672 × 217)
    floor (0.141826629638672 × 131072)
    floor (18589.5)     		ty = 18589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113318 / 18589 ti = "17/113318/18589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113318/18589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113318 ÷ 217
    113318 ÷ 131072     		x = 0.864547729492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18589 ÷ 217
    18589 ÷ 131072     		y = 0.141822814941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.864547729492188 × 2 - 1) × π
    0.729095458984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.29052094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141822814941406 × 2 - 1) × π
    0.716354370117188 × 3.1415926535     		Φ = 2.25049362646278
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29052094} λ = 2.29052094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25049362646278))-π/2
    2×atan(9.49242038995387)-π/2
    2×1.46583625824659-π/2
    2.93167251649318-1.57079632675     		φ = 1.36087619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29052094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.237183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36087619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.972462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113318 KachelY 18589 2.29052094 1.36087619 131.237183 77.972462
    Oben rechts KachelX + 1 113319 KachelY 18589 2.29056887 1.36087619 131.239929 77.972462
    Unten links KachelX 113318 KachelY + 1 18590 2.29052094 1.36086620 131.237183 77.971890
    Unten rechts KachelX + 1 113319 KachelY + 1 18590 2.29056887 1.36086620 131.239929 77.971890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36087619-1.36086620) × R
    9.98999999990424e-06 × 6371000     		dl = 63.6462899993899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36087619-1.36086620) × R
    9.98999999990424e-06 × 6371000     		dr = 63.6462899993899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29052094-2.29056887) × cos(1.36087619) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.20838179049785 × 6371000     		do = 63.6318865614972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29052094-2.29056887) × cos(1.36086620) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.208391561182575 × 6371000     		du = 63.6348701576192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36087619)-sin(1.36086620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20838179049785-0.208391561182575)×R²
    abs(2.29056887-2.29052094)×9.7706847246859e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.7706847246859e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.7706847246859e-06×40589641000000     		ar = 4050.02845272065m²