Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11330 / 23786
↖ ↑ ↗
← S 62.804978°
W 55.524902°		 ← 558.29 m → S 62.804978°
W 55.513916°		 →
↑
558.29 m
↓
↑
558.29 m
↓
S 62.809999°
W 55.524902°		 ← 558.19 m →
311 659 m²		 S 62.809999°
W 55.513916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345779418945312 y=0.725906372070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345779418945312 × 215)
    floor (0.345779418945312 × 32768)
    floor (11330.5)     		tx = 11330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725906372070312 × 215)
    floor (0.725906372070312 × 32768)
    floor (23786.5)     		ty = 23786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11330 / 23786 ti = "15/11330/23786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11330/23786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11330 ÷ 215
    11330 ÷ 32768     		x = 0.34576416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23786 ÷ 215
    23786 ÷ 32768     		y = 0.72589111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34576416015625 × 2 - 1) × π
    -0.3084716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.96909236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72589111328125 × 2 - 1) × π
    -0.4517822265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.41931572395062
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96909236} λ = -0.96909236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41931572395062))-π/2
    2×atan(0.241879472611833)-π/2
    2×0.237321332243197-π/2
    0.474642664486393-1.57079632675     		φ = -1.09615366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96909236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.524902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09615366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.804978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11330 KachelY 23786 -0.96909236 -1.09615366 -55.524902 -62.804978
    Oben rechts KachelX + 1 11331 KachelY 23786 -0.96890062 -1.09615366 -55.513916 -62.804978
    Unten links KachelX 11330 KachelY + 1 23787 -0.96909236 -1.09624129 -55.524902 -62.809999
    Unten rechts KachelX + 1 11331 KachelY + 1 23787 -0.96890062 -1.09624129 -55.513916 -62.809999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09615366--1.09624129) × R
    8.76300000001162e-05 × 6371000     		dl = 558.29073000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09615366--1.09624129) × R
    8.76300000001162e-05 × 6371000     		dr = 558.29073000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96909236--0.96890062) × cos(-1.09615366) × R
    0.000191739999999996 × 0.457020644169134 × 6371000     		do = 558.285240192046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96909236--0.96890062) × cos(-1.09624129) × R
    0.000191739999999996 × 0.45694269937759 × 6371000     		du = 558.190024741225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09615366)-sin(-1.09624129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457020644169134-0.45694269937759)×R²
    abs(-0.96890062--0.96909236)×7.79447915437714e-05×R²
    0.000191739999999996×7.79447915437714e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.79447915437714e-05×40589641000000     		ar = 311658.895543352m²