Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11329 / 23607
↖ ↑ ↗
← S 61.892402°
W 55.535889°		 ← 575.55 m → S 61.892402°
W 55.524902°		 →
↑
575.49 m
↓
↑
575.49 m
↓
S 61.897578°
W 55.535889°		 ← 575.45 m →
331 196 m²		 S 61.897578°
W 55.524902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345748901367188 y=0.720443725585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345748901367188 × 215)
    floor (0.345748901367188 × 32768)
    floor (11329.5)     		tx = 11329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720443725585938 × 215)
    floor (0.720443725585938 × 32768)
    floor (23607.5)     		ty = 23607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11329 / 23607 ti = "15/11329/23607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11329/23607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11329 ÷ 215
    11329 ÷ 32768     		x = 0.345733642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23607 ÷ 215
    23607 ÷ 32768     		y = 0.720428466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345733642578125 × 2 - 1) × π
    -0.30853271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.96928411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720428466796875 × 2 - 1) × π
    -0.44085693359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.38499290382266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96928411} λ = -0.96928411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38499290382266))-π/2
    2×atan(0.250325576140074)-π/2
    2×0.245285064247487-π/2
    0.490570128494974-1.57079632675     		φ = -1.08022620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96928411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.535889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08022620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.892402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11329 KachelY 23607 -0.96928411 -1.08022620 -55.535889 -61.892402
    Oben rechts KachelX + 1 11330 KachelY 23607 -0.96909236 -1.08022620 -55.524902 -61.892402
    Unten links KachelX 11329 KachelY + 1 23608 -0.96928411 -1.08031653 -55.535889 -61.897578
    Unten rechts KachelX + 1 11330 KachelY + 1 23608 -0.96909236 -1.08031653 -55.524902 -61.897578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08022620--1.08031653) × R
    9.03299999999163e-05 × 6371000     		dl = 575.492429999467m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08022620--1.08031653) × R
    9.03299999999163e-05 × 6371000     		dr = 575.492429999467m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96928411--0.96909236) × cos(-1.08022620) × R
    0.000191750000000046 × 0.471128853261427 × 6371000     		do = 575.549498951788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96928411--0.96909236) × cos(-1.08031653) × R
    0.000191750000000046 × 0.471049174462302 × 6371000     		du = 575.452160203384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08022620)-sin(-1.08031653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.471128853261427-0.471049174462302)×R²
    abs(-0.96909236--0.96928411)×7.96787991249048e-05×R²
    0.000191750000000046×7.96787991249048e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.96787991249048e-05×40589641000000     		ar = 331196.371105802m²