Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11325 / 23614
↖ ↑ ↗
← S 61.928613°
W 55.579834°		 ← 574.87 m → S 61.928613°
W 55.568847°		 →
↑
574.79 m
↓
↑
574.79 m
↓
S 61.933782°
W 55.579834°		 ← 574.77 m →
330 402 m²		 S 61.933782°
W 55.568847°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345626831054688 y=0.720657348632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345626831054688 × 215)
    floor (0.345626831054688 × 32768)
    floor (11325.5)     		tx = 11325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720657348632812 × 215)
    floor (0.720657348632812 × 32768)
    floor (23614.5)     		ty = 23614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11325 / 23614 ti = "15/11325/23614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11325/23614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11325 ÷ 215
    11325 ÷ 32768     		x = 0.345611572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23614 ÷ 215
    23614 ÷ 32768     		y = 0.72064208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345611572265625 × 2 - 1) × π
    -0.30877685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.97005110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72064208984375 × 2 - 1) × π
    -0.4412841796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.38633513701202
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97005110} λ = -0.97005110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38633513701202))-π/2
    2×atan(0.249989806234798)-π/2
    2×0.244969068971898-π/2
    0.489938137943795-1.57079632675     		φ = -1.08085819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97005110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.579834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08085819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.928613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11325 KachelY 23614 -0.97005110 -1.08085819 -55.579834 -61.928613
    Oben rechts KachelX + 1 11326 KachelY 23614 -0.96985935 -1.08085819 -55.568847 -61.928613
    Unten links KachelX 11325 KachelY + 1 23615 -0.97005110 -1.08094841 -55.579834 -61.933782
    Unten rechts KachelX + 1 11326 KachelY + 1 23615 -0.96985935 -1.08094841 -55.568847 -61.933782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08085819--1.08094841) × R
    9.02199999999187e-05 × 6371000     		dl = 574.791619999482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08085819--1.08094841) × R
    9.02199999999187e-05 × 6371000     		dr = 574.791619999482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97005110--0.96985935) × cos(-1.08085819) × R
    0.000191750000000046 × 0.470571303332035 × 6371000     		do = 574.868374074208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97005110--0.96985935) × cos(-1.08094841) × R
    0.000191750000000046 × 0.470491694719946 × 6371000     		du = 574.771121069042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08085819)-sin(-1.08094841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.470571303332035-0.470491694719946)×R²
    abs(-0.96985935--0.97005110)×7.9608612089388e-05×R²
    0.000191750000000046×7.9608612089388e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.9608612089388e-05×40589641000000     		ar = 330401.574139233m²