Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11324 / 23777
↖ ↑ ↗
← S 62.759755°
W 55.590820°		 ← 559.17 m → S 62.759755°
W 55.579834°		 →
↑
559.12 m
↓
↑
559.12 m
↓
S 62.764783°
W 55.590820°		 ← 559.08 m →
312 617 m²		 S 62.764783°
W 55.579834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345596313476562 y=0.725631713867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345596313476562 × 215)
    floor (0.345596313476562 × 32768)
    floor (11324.5)     		tx = 11324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725631713867188 × 215)
    floor (0.725631713867188 × 32768)
    floor (23777.5)     		ty = 23777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11324 / 23777 ti = "15/11324/23777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11324/23777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11324 ÷ 215
    11324 ÷ 32768     		x = 0.3455810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23777 ÷ 215
    23777 ÷ 32768     		y = 0.725616455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3455810546875 × 2 - 1) × π
    -0.308837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.97024285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725616455078125 × 2 - 1) × π
    -0.45123291015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.4175899955643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97024285} λ = -0.97024285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4175899955643))-π/2
    2×atan(0.242297251266346)-π/2
    2×0.237715981757932-π/2
    0.475431963515864-1.57079632675     		φ = -1.09536436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97024285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.590820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09536436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.759755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11324 KachelY 23777 -0.97024285 -1.09536436 -55.590820 -62.759755
    Oben rechts KachelX + 1 11325 KachelY 23777 -0.97005110 -1.09536436 -55.579834 -62.759755
    Unten links KachelX 11324 KachelY + 1 23778 -0.97024285 -1.09545212 -55.590820 -62.764783
    Unten rechts KachelX + 1 11325 KachelY + 1 23778 -0.97005110 -1.09545212 -55.579834 -62.764783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09536436--1.09545212) × R
    8.77599999999923e-05 × 6371000     		dl = 559.118959999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09536436--1.09545212) × R
    8.77599999999923e-05 × 6371000     		dr = 559.118959999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97024285--0.97005110) × cos(-1.09536436) × R
    0.000191749999999935 × 0.457722549425089 × 6371000     		do = 559.171831987564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97024285--0.97005110) × cos(-1.09545212) × R
    0.000191749999999935 × 0.457644520678001 × 6371000     		du = 559.076509007493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09536436)-sin(-1.09545212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457722549425089-0.457644520678001)×R²
    abs(-0.97005110--0.97024285)×7.80287470876773e-05×R²
    0.000191749999999935×7.80287470876773e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.80287470876773e-05×40589641000000     		ar = 312616.924920368m²