Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11323 / 23770
↖ ↑ ↗
← S 62.724533°
W 55.601807°		 ← 559.84 m → S 62.724533°
W 55.590820°		 →
↑
559.76 m
↓
↑
559.76 m
↓
S 62.729567°
W 55.601807°		 ← 559.74 m →
313 347 m²		 S 62.729567°
W 55.590820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345565795898438 y=0.725418090820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345565795898438 × 215)
    floor (0.345565795898438 × 32768)
    floor (11323.5)     		tx = 11323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725418090820312 × 215)
    floor (0.725418090820312 × 32768)
    floor (23770.5)     		ty = 23770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11323 / 23770 ti = "15/11323/23770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11323/23770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11323 ÷ 215
    11323 ÷ 32768     		x = 0.345550537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23770 ÷ 215
    23770 ÷ 32768     		y = 0.72540283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345550537109375 × 2 - 1) × π
    -0.30889892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.97043460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72540283203125 × 2 - 1) × π
    -0.4508056640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.41624776237494
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97043460} λ = -0.97043460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41624776237494))-π/2
    2×atan(0.242622689036516)-π/2
    2×0.238023350301484-π/2
    0.476046700602969-1.57079632675     		φ = -1.09474963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97043460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.601807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09474963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.724533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11323 KachelY 23770 -0.97043460 -1.09474963 -55.601807 -62.724533
    Oben rechts KachelX + 1 11324 KachelY 23770 -0.97024285 -1.09474963 -55.590820 -62.724533
    Unten links KachelX 11323 KachelY + 1 23771 -0.97043460 -1.09483749 -55.601807 -62.729567
    Unten rechts KachelX + 1 11324 KachelY + 1 23771 -0.97024285 -1.09483749 -55.590820 -62.729567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09474963--1.09483749) × R
    8.78600000000507e-05 × 6371000     		dl = 559.756060000323m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09474963--1.09483749) × R
    8.78600000000507e-05 × 6371000     		dr = 559.756060000323m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97043460--0.97024285) × cos(-1.09474963) × R
    0.000191750000000046 × 0.458269016326365 × 6371000     		do = 559.839417403313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97043460--0.97024285) × cos(-1.09483749) × R
    0.000191750000000046 × 0.458190923400076 × 6371000     		du = 559.74401601941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09474963)-sin(-1.09483749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458269016326365-0.458190923400076)×R²
    abs(-0.97024285--0.97043460)×7.80929262897412e-05×R²
    0.000191750000000046×7.80929262897412e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.80929262897412e-05×40589641000000     		ar = 313346.805968713m²