Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11322 / 23620
↖ ↑ ↗
← S 61.959616°
W 55.612793°		 ← 574.26 m → S 61.959616°
W 55.601807°		 →
↑
574.22 m
↓
↑
574.22 m
↓
S 61.964780°
W 55.612793°		 ← 574.16 m →
329 720 m²		 S 61.964780°
W 55.601807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345535278320312 y=0.720840454101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345535278320312 × 215)
    floor (0.345535278320312 × 32768)
    floor (11322.5)     		tx = 11322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720840454101562 × 215)
    floor (0.720840454101562 × 32768)
    floor (23620.5)     		ty = 23620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11322 / 23620 ti = "15/11322/23620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11322/23620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11322 ÷ 215
    11322 ÷ 32768     		x = 0.34552001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23620 ÷ 215
    23620 ÷ 32768     		y = 0.7208251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34552001953125 × 2 - 1) × π
    -0.3089599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97062634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7208251953125 × 2 - 1) × π
    -0.441650390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.38748562260291
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97062634} λ = -0.97062634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38748562260291))-π/2
    2×atan(0.249702361946819)-π/2
    2×0.244698513582219-π/2
    0.489397027164437-1.57079632675     		φ = -1.08139930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97062634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.612793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08139930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.959616°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11322 KachelY 23620 -0.97062634 -1.08139930 -55.612793 -61.959616
    Oben rechts KachelX + 1 11323 KachelY 23620 -0.97043460 -1.08139930 -55.601807 -61.959616
    Unten links KachelX 11322 KachelY + 1 23621 -0.97062634 -1.08148943 -55.612793 -61.964780
    Unten rechts KachelX + 1 11323 KachelY + 1 23621 -0.97043460 -1.08148943 -55.601807 -61.964780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08139930--1.08148943) × R
    9.01300000000216e-05 × 6371000     		dl = 574.218230000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08139930--1.08148943) × R
    9.01300000000216e-05 × 6371000     		dr = 574.218230000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97062634--0.97043460) × cos(-1.08139930) × R
    0.000191739999999996 × 0.470093779577375 × 6371000     		do = 574.25506263786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97062634--0.97043460) × cos(-1.08148943) × R
    0.000191739999999996 × 0.470014227445387 × 6371000     		du = 574.157883699269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08139930)-sin(-1.08148943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.470093779577375-0.470014227445387)×R²
    abs(-0.97043460--0.97062634)×7.95521319872927e-05×R²
    0.000191739999999996×7.95521319872927e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.95521319872927e-05×40589641000000     		ar = 329719.824899862m²