Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 11321 / 23621
↖ ↑ ↗
← S 61.964780°
W 55.623779°		 ← 574.19 m → S 61.964780°
W 55.612793°		 →
↑
574.15 m
↓
↑
574.15 m
↓
S 61.969943°
W 55.623779°		 ← 574.09 m →
329 645 m²		 S 61.969943°
W 55.612793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345504760742188 y=0.720870971679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345504760742188 × 215)
    floor (0.345504760742188 × 32768)
    floor (11321.5)     		tx = 11321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720870971679688 × 215)
    floor (0.720870971679688 × 32768)
    floor (23621.5)     		ty = 23621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11321 / 23621 ti = "15/11321/23621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11321/23621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11321 ÷ 215
    11321 ÷ 32768     		x = 0.345489501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23621 ÷ 215
    23621 ÷ 32768     		y = 0.720855712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345489501953125 × 2 - 1) × π
    -0.30902099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97081809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720855712890625 × 2 - 1) × π
    -0.44171142578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.38767737020139
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97081809} λ = -0.97081809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38767737020139))-π/2
    2×atan(0.249654486708708)-π/2
    2×0.244653447719173-π/2
    0.489306895438346-1.57079632675     		φ = -1.08148943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97081809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.623779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08148943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.964780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11321 KachelY 23621 -0.97081809 -1.08148943 -55.623779 -61.964780
    Oben rechts KachelX + 1 11322 KachelY 23621 -0.97062634 -1.08148943 -55.612793 -61.964780
    Unten links KachelX 11321 KachelY + 1 23622 -0.97081809 -1.08157955 -55.623779 -61.969943
    Unten rechts KachelX + 1 11322 KachelY + 1 23622 -0.97062634 -1.08157955 -55.612793 -61.969943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08148943--1.08157955) × R
    9.01200000000824e-05 × 6371000     		dl = 574.154520000525m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08148943--1.08157955) × R
    9.01200000000824e-05 × 6371000     		dr = 574.154520000525m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97081809--0.97062634) × cos(-1.08148943) × R
    0.000191749999999935 × 0.470014227445387 × 6371000     		do = 574.187828305518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97081809--0.97062634) × cos(-1.08157955) × R
    0.000191749999999935 × 0.469934680322291 × 6371000     		du = 574.090650417718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08148943)-sin(-1.08157955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.470014227445387-0.469934680322291)×R²
    abs(-0.97062634--0.97081809)×7.95471230968237e-05×R²
    0.000191749999999935×7.95471230968237e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.95471230968237e-05×40589641000000     		ar = 329644.63961231m²