Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113203 / 18337
↖ ↑ ↗
← N 78.115843°
E130.921325°		 ← 62.90 m → N 78.115843°
E130.924072°		 →
↑
62.88 m
↓
↑
62.88 m
↓
N 78.115277°
E130.921325°		 ← 62.90 m →
3 955 m²		 N 78.115277°
E130.924072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.863674163818359 y=0.139904022216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.863674163818359 × 217)
    floor (0.863674163818359 × 131072)
    floor (113203.5)     		tx = 113203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139904022216797 × 217)
    floor (0.139904022216797 × 131072)
    floor (18337.5)     		ty = 18337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113203 / 18337 ti = "17/113203/18337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113203/18337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113203 ÷ 217
    113203 ÷ 131072     		x = 0.863670349121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18337 ÷ 217
    18337 ÷ 131072     		y = 0.139900207519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.863670349121094 × 2 - 1) × π
    0.727340698242188 × 3.1415926535     		Λ = 2.28500819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139900207519531 × 2 - 1) × π
    0.720199584960938 × 3.1415926535     		Φ = 2.26257372516703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.28500819} λ = 2.28500819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26257372516703))-π/2
    2×atan(9.60778517126261)-π/2
    2×1.46708748709563-π/2
    2.93417497419126-1.57079632675     		φ = 1.36337865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.28500819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 130.921325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36337865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.115843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113203 KachelY 18337 2.28500819 1.36337865 130.921325 78.115843
    Oben rechts KachelX + 1 113204 KachelY 18337 2.28505613 1.36337865 130.924072 78.115843
    Unten links KachelX 113203 KachelY + 1 18338 2.28500819 1.36336878 130.921325 78.115277
    Unten rechts KachelX + 1 113204 KachelY + 1 18338 2.28505613 1.36336878 130.924072 78.115277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36337865-1.36336878) × R
    9.8699999999674e-06 × 6371000     		dl = 62.8817699997923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36337865-1.36336878) × R
    9.8699999999674e-06 × 6371000     		dr = 62.8817699997923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.28500819-2.28505613) × cos(1.36337865) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205933615680742 × 6371000     		do = 62.8974269601249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.28500819-2.28505613) × cos(1.36336878) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205943274116776 × 6371000     		du = 62.9003768950978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36337865)-sin(1.36336878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205933615680742-0.205943274116776)×R²
    abs(2.28505613-2.28500819)×9.65843603395466e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.65843603395466e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.65843603395466e-06×40589641000000     		ar = 3955.19428422523m²