Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1132 / 971
↖ ↑ ↗
← N 68.301905°
W 80.507812°		 ← 3 613.23 m → N 68.301905°
W 80.419922°		 →
↑
3 615.80 m
↓
↑
3 615.80 m
↓
N 68.269387°
W 80.507812°		 ← 3 618.38 m →
13 074 018 m²		 N 68.269387°
W 80.419922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2764892578125 y=0.2371826171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2764892578125 × 212)
    floor (0.2764892578125 × 4096)
    floor (1132.5)     		tx = 1132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2371826171875 × 212)
    floor (0.2371826171875 × 4096)
    floor (971.5)     		ty = 971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1132 / 971 ti = "12/1132/971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1132/971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1132 ÷ 212
    1132 ÷ 4096     		x = 0.2763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 971 ÷ 212
    971 ÷ 4096     		y = 0.237060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2763671875 × 2 - 1) × π
    -0.447265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40512640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237060546875 × 2 - 1) × π
    0.52587890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.65209730850562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40512640} λ = -1.40512640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65209730850562))-π/2
    2×atan(5.21791193024908)-π/2
    2×1.38144472310452-π/2
    2.76288944620904-1.57079632675     		φ = 1.19209312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40512640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.507812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19209312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.301905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1132 KachelY 971 -1.40512640 1.19209312 -80.507812 68.301905
    Oben rechts KachelX + 1 1133 KachelY 971 -1.40359242 1.19209312 -80.419922 68.301905
    Unten links KachelX 1132 KachelY + 1 972 -1.40512640 1.19152558 -80.507812 68.269387
    Unten rechts KachelX + 1 1133 KachelY + 1 972 -1.40359242 1.19152558 -80.419922 68.269387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19209312-1.19152558) × R
    0.000567540000000033 × 6371000     		dl = 3615.79734000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19209312-1.19152558) × R
    0.000567540000000033 × 6371000     		dr = 3615.79734000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40512640--1.40359242) × cos(1.19209312) × R
    0.00153398000000005 × 0.369715871877928 × 6371000     		do = 3613.2282542761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40512640--1.40359242) × cos(1.19152558) × R
    0.00153398000000005 × 0.370243139181402 × 6371000     		du = 3618.38123055702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19209312)-sin(1.19152558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369715871877928-0.370243139181402)×R²
    abs(-1.40359242--1.40512640)×0.0005272673034733×R²
    0.00153398000000005×0.0005272673034733×6371000²
    0.00153398000000005×0.0005272673034733×40589641000000     		ar = 13074017.5205219m²