Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1132 / 1428
↖ ↑ ↗
← N 75.275413°
W130.253906°		 ← 1 242.01 m → N 75.275413°
W130.209961°		 →
↑
1 242.47 m
↓
↑
1 242.47 m
↓
N 75.264239°
W130.253906°		 ← 1 242.94 m →
1 543 742 m²		 N 75.264239°
W130.209961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.13824462890625 y=0.17437744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.13824462890625 × 213)
    floor (0.13824462890625 × 8192)
    floor (1132.5)     		tx = 1132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.17437744140625 × 213)
    floor (0.17437744140625 × 8192)
    floor (1428.5)     		ty = 1428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1132 / 1428 ti = "13/1132/1428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1132/1428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1132 ÷ 213
    1132 ÷ 8192     		x = 0.13818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1428 ÷ 213
    1428 ÷ 8192     		y = 0.17431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13818359375 × 2 - 1) × π
    -0.7236328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.27335953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17431640625 × 2 - 1) × π
    0.6513671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.04633037098096
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27335953} λ = -2.27335953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.04633037098096))-π/2
    2×atan(7.73944802903853)-π/2
    2×1.44230006129533-π/2
    2.88460012259066-1.57079632675     		φ = 1.31380380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27335953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.253906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31380380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.275413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1132 KachelY 1428 -2.27335953 1.31380380 -130.253906 75.275413
    Oben rechts KachelX + 1 1133 KachelY 1428 -2.27259254 1.31380380 -130.209961 75.275413
    Unten links KachelX 1132 KachelY + 1 1429 -2.27335953 1.31360878 -130.253906 75.264239
    Unten rechts KachelX + 1 1133 KachelY + 1 1429 -2.27259254 1.31360878 -130.209961 75.264239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31380380-1.31360878) × R
    0.000195020000000046 × 6371000     		dl = 1242.47242000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31380380-1.31360878) × R
    0.000195020000000046 × 6371000     		dr = 1242.47242000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27335953--2.27259254) × cos(1.31380380) × R
    0.000766989999999801 × 0.254173001676135 × 6371000     		do = 1242.01466718927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27335953--2.27259254) × cos(1.31360878) × R
    0.000766989999999801 × 0.254361612144691 × 6371000     		du = 1242.93631097829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31380380)-sin(1.31360878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.254173001676135-0.254361612144691)×R²
    abs(-2.27259254--2.27335953)×0.000188610468556449×R²
    0.000766989999999801×0.000188610468556449×6371000²
    0.000766989999999801×0.000188610468556449×40589641000000     		ar = 1543741.53260298m²