Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1132 / 1229
↖ ↑ ↗
← S 33.870416°
E 18.984375°		 ← 16.229 km → S 33.870416°
E 19.160156°		 →
↑
16.215 km
↓
↑
16.215 km
↓
S 34.016242°
E 18.984375°		 ← 16.201 km →
262.931 km²		 S 34.016242°
E 19.160156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552978515625 y=0.600341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552978515625 × 211)
    floor (0.552978515625 × 2048)
    floor (1132.5)     		tx = 1132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600341796875 × 211)
    floor (0.600341796875 × 2048)
    floor (1229.5)     		ty = 1229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1132 / 1229 ti = "11/1132/1229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1132/1229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1132 ÷ 211
    1132 ÷ 2048     		x = 0.552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1229 ÷ 211
    1229 ÷ 2048     		y = 0.60009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552734375 × 2 - 1) × π
    0.10546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.33133985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60009765625 × 2 - 1) × π
    -0.2001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.628932123015137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33133985} λ = 0.33133985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.628932123015137))-π/2
    2×atan(0.533160847315171)-π/2
    2×0.489823028213599-π/2
    0.979646056427198-1.57079632675     		φ = -0.59115027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33133985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.984375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59115027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.870416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1132 KachelY 1229 0.33133985 -0.59115027 18.984375 -33.870416
    Oben rechts KachelX + 1 1133 KachelY 1229 0.33440781 -0.59115027 19.160156 -33.870416
    Unten links KachelX 1132 KachelY + 1 1230 0.33133985 -0.59369542 18.984375 -34.016242
    Unten rechts KachelX + 1 1133 KachelY + 1 1230 0.33440781 -0.59369542 19.160156 -34.016242
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59115027--0.59369542) × R
    0.00254515 × 6371000     		dl = 16215.15065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59115027--0.59369542) × R
    0.00254515 × 6371000     		dr = 16215.15065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33133985-0.33440781) × cos(-0.59115027) × R
    0.00306796000000004 × 0.830300164129962 × 6371000     		do = 16229.024722828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33133985-0.33440781) × cos(-0.59369542) × R
    0.00306796000000004 × 0.828879022418254 × 6371000     		du = 16201.2471250744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59115027)-sin(-0.59369542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.830300164129962-0.828879022418254)×R²
    abs(0.33440781-0.33133985)×0.00142114171170804×R²
    0.00306796000000004×0.00142114171170804×6371000²
    0.00306796000000004×0.00142114171170804×40589641000000     		ar = 262931013.751405m²