Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11316 / 5210
↖ ↑ ↗
← N 54.648413°
E 68.642578°		 ← 1 413.63 m → N 54.648413°
E 68.664551°		 →
↑
1 413.85 m
↓
↑
1 413.85 m
↓
N 54.635697°
E 68.642578°		 ← 1 414.07 m →
1 998 970 m²		 N 54.635697°
E 68.664551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690704345703125 y=0.318023681640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690704345703125 × 214)
    floor (0.690704345703125 × 16384)
    floor (11316.5)     		tx = 11316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318023681640625 × 214)
    floor (0.318023681640625 × 16384)
    floor (5210.5)     		ty = 5210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11316 / 5210 ti = "14/11316/5210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11316/5210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11316 ÷ 214
    11316 ÷ 16384     		x = 0.690673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5210 ÷ 214
    5210 ÷ 16384     		y = 0.3179931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690673828125 × 2 - 1) × π
    0.38134765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.19803900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3179931640625 × 2 - 1) × π
    0.364013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.14358267733606
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19803900} λ = 1.19803900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14358267733606))-π/2
    2×atan(3.13799065826704)-π/2
    2×1.26229552796472-π/2
    2.52459105592944-1.57079632675     		φ = 0.95379473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19803900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.642578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95379473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.648413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11316 KachelY 5210 1.19803900 0.95379473 68.642578 54.648413
    Oben rechts KachelX + 1 11317 KachelY 5210 1.19842249 0.95379473 68.664551 54.648413
    Unten links KachelX 11316 KachelY + 1 5211 1.19803900 0.95357281 68.642578 54.635697
    Unten rechts KachelX + 1 11317 KachelY + 1 5211 1.19842249 0.95357281 68.664551 54.635697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95379473-0.95357281) × R
    0.000221919999999987 × 6371000     		dl = 1413.85231999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95379473-0.95357281) × R
    0.000221919999999987 × 6371000     		dr = 1413.85231999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19803900-1.19842249) × cos(0.95379473) × R
    0.000383489999999931 × 0.578592216547265 × 6371000     		do = 1413.62506084691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19803900-1.19842249) × cos(0.95357281) × R
    0.000383489999999931 × 0.578773204017074 × 6371000     		du = 1414.06725210995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95379473)-sin(0.95357281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578592216547265-0.578773204017074)×R²
    abs(1.19842249-1.19803900)×0.000180987469808547×R²
    0.000383489999999931×0.000180987469808547×6371000²
    0.000383489999999931×0.000180987469808547×40589641000000     		ar = 1998969.67666336m²