Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11312 / 5222
↖ ↑ ↗
← N 54.495567°
E 68.554687°		 ← 1 418.97 m → N 54.495567°
E 68.576660°		 →
↑
1 419.14 m
↓
↑
1 419.14 m
↓
N 54.482805°
E 68.554687°		 ← 1 419.42 m →
2 014 036 m²		 N 54.482805°
E 68.576660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690460205078125 y=0.318756103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690460205078125 × 214)
    floor (0.690460205078125 × 16384)
    floor (11312.5)     		tx = 11312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318756103515625 × 214)
    floor (0.318756103515625 × 16384)
    floor (5222.5)     		ty = 5222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11312 / 5222 ti = "14/11312/5222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11312/5222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11312 ÷ 214
    11312 ÷ 16384     		x = 0.6904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5222 ÷ 214
    5222 ÷ 16384     		y = 0.3187255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6904296875 × 2 - 1) × π
    0.380859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.19650501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3187255859375 × 2 - 1) × π
    0.362548828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.13898073497253
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19650501} λ = 1.19650501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13898073497253))-π/2
    2×atan(3.12358298319254)-π/2
    2×1.26096170388779-π/2
    2.52192340777558-1.57079632675     		φ = 0.95112708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19650501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.554687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95112708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.495567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11312 KachelY 5222 1.19650501 0.95112708 68.554687 54.495567
    Oben rechts KachelX + 1 11313 KachelY 5222 1.19688851 0.95112708 68.576660 54.495567
    Unten links KachelX 11312 KachelY + 1 5223 1.19650501 0.95090433 68.554687 54.482805
    Unten rechts KachelX + 1 11313 KachelY + 1 5223 1.19688851 0.95090433 68.576660 54.482805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95112708-0.95090433) × R
    0.000222750000000049 × 6371000     		dl = 1419.14025000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95112708-0.95090433) × R
    0.000222750000000049 × 6371000     		dr = 1419.14025000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19650501-1.19688851) × cos(0.95112708) × R
    0.00038349999999987 × 0.580765935852158 × 6371000     		do = 1418.97292459948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19650501-1.19688851) × cos(0.95090433) × R
    0.00038349999999987 × 0.580947255666794 × 6371000     		du = 1419.4159394042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95112708)-sin(0.95090433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580765935852158-0.580947255666794)×R²
    abs(1.19688851-1.19650501)×0.000181319814635872×R²
    0.00038349999999987×0.000181319814635872×6371000²
    0.00038349999999987×0.000181319814635872×40589641000000     		ar = 2014035.94935757m²