Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113112 / 18344
↖ ↑ ↗
← N 78.111882°
E130.671387°		 ← 62.90 m → N 78.111882°
E130.674133°		 →
↑
62.88 m
↓
↑
62.88 m
↓
N 78.111317°
E130.671387°		 ← 62.91 m →
3 956 m²		 N 78.111317°
E130.674133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.862979888916016 y=0.139957427978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.862979888916016 × 217)
    floor (0.862979888916016 × 131072)
    floor (113112.5)     		tx = 113112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139957427978516 × 217)
    floor (0.139957427978516 × 131072)
    floor (18344.5)     		ty = 18344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113112 / 18344 ti = "17/113112/18344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113112/18344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113112 ÷ 217
    113112 ÷ 131072     		x = 0.86297607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18344 ÷ 217
    18344 ÷ 131072     		y = 0.13995361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.86297607421875 × 2 - 1) × π
    0.7259521484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.28064594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13995361328125 × 2 - 1) × π
    0.7200927734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.26223816686969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.28064594} λ = 2.28064594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26223816686969))-π/2
    2×atan(9.60456174008411)-π/2
    2×1.46705293005514-π/2
    2.93410586011029-1.57079632675     		φ = 1.36330953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.28064594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 130.671387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36330953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.111882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113112 KachelY 18344 2.28064594 1.36330953 130.671387 78.111882
    Oben rechts KachelX + 1 113113 KachelY 18344 2.28069387 1.36330953 130.674133 78.111882
    Unten links KachelX 113112 KachelY + 1 18345 2.28064594 1.36329966 130.671387 78.111317
    Unten rechts KachelX + 1 113113 KachelY + 1 18345 2.28069387 1.36329966 130.674133 78.111317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36330953-1.36329966) × R
    9.8699999999674e-06 × 6371000     		dl = 62.8817699997923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36330953-1.36329966) × R
    9.8699999999674e-06 × 6371000     		dr = 62.8817699997923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.28064594-2.28069387) × cos(1.36330953) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.206001253668189 × 6371000     		do = 62.9049610027017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.28064594-2.28069387) × cos(1.36329966) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.206010911963706 × 6371000     		du = 62.907910279427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36330953)-sin(1.36329966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206001253668189-0.206010911963706)×R²
    abs(2.28069387-2.28064594)×9.65829551671793e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.65829551671793e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.65829551671793e-06×40589641000000     		ar = 3955.66801739547m²