Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1131 / 3270
↖ ↑ ↗
← S 72.554499°
W 80.595703°		 ← 2 929.93 m → S 72.554499°
W 80.507812°		 →
↑
2 927.73 m
↓
↑
2 927.73 m
↓
S 72.580828°
W 80.595703°		 ← 2 925.64 m →
8 571 760 m²		 S 72.580828°
W 80.507812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2762451171875 y=0.7984619140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2762451171875 × 212)
    floor (0.2762451171875 × 4096)
    floor (1131.5)     		tx = 1131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7984619140625 × 212)
    floor (0.7984619140625 × 4096)
    floor (3270.5)     		ty = 3270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1131 / 3270 ti = "12/1131/3270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1131/3270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1131 ÷ 212
    1131 ÷ 4096     		x = 0.276123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3270 ÷ 212
    3270 ÷ 4096     		y = 0.79833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276123046875 × 2 - 1) × π
    -0.44775390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40666038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79833984375 × 2 - 1) × π
    -0.5966796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.87452452274268
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40666038} λ = -1.40666038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87452452274268))-π/2
    2×atan(0.153427900981849)-π/2
    2×0.152240720455547-π/2
    0.304481440911094-1.57079632675     		φ = -1.26631489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40666038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.595703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26631489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.554499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1131 KachelY 3270 -1.40666038 -1.26631489 -80.595703 -72.554499
    Oben rechts KachelX + 1 1132 KachelY 3270 -1.40512640 -1.26631489 -80.507812 -72.554499
    Unten links KachelX 1131 KachelY + 1 3271 -1.40666038 -1.26677443 -80.595703 -72.580828
    Unten rechts KachelX + 1 1132 KachelY + 1 3271 -1.40512640 -1.26677443 -80.507812 -72.580828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26631489--1.26677443) × R
    0.000459539999999814 × 6371000     		dl = 2927.72933999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26631489--1.26677443) × R
    0.000459539999999814 × 6371000     		dr = 2927.72933999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40666038--1.40512640) × cos(-1.26631489) × R
    0.00153397999999982 × 0.299798504922941 × 6371000     		do = 2929.92676531563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40666038--1.40512640) × cos(-1.26677443) × R
    0.00153397999999982 × 0.299360070953427 × 6371000     		du = 2925.64195601535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26631489)-sin(-1.26677443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299798504922941-0.299360070953427)×R²
    abs(-1.40512640--1.40666038)×0.000438433969514263×R²
    0.00153397999999982×0.000438433969514263×6371000²
    0.00153397999999982×0.000438433969514263×40589641000000     		ar = 8571760.32475288m²