Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11309 / 23829
↖ ↑ ↗
← S 63.020090°
W 55.755615°		 ← 554.23 m → S 63.020090°
W 55.744629°		 →
↑
554.21 m
↓
↑
554.21 m
↓
S 63.025074°
W 55.755615°		 ← 554.14 m →
307 136 m²		 S 63.025074°
W 55.744629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345138549804688 y=0.727218627929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345138549804688 × 215)
    floor (0.345138549804688 × 32768)
    floor (11309.5)     		tx = 11309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727218627929688 × 215)
    floor (0.727218627929688 × 32768)
    floor (23829.5)     		ty = 23829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11309 / 23829 ti = "15/11309/23829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11309/23829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11309 ÷ 215
    11309 ÷ 32768     		x = 0.345123291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23829 ÷ 215
    23829 ÷ 32768     		y = 0.727203369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345123291015625 × 2 - 1) × π
    -0.30975341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.97311906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727203369140625 × 2 - 1) × π
    -0.45440673828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42756087068527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97311906} λ = -0.97311906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42756087068527))-π/2
    2×atan(0.239893340096892)-π/2
    2×0.235444127388386-π/2
    0.470888254776772-1.57079632675     		φ = -1.09990807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97311906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.755615°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09990807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.020090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11309 KachelY 23829 -0.97311906 -1.09990807 -55.755615 -63.020090
    Oben rechts KachelX + 1 11310 KachelY 23829 -0.97292731 -1.09990807 -55.744629 -63.020090
    Unten links KachelX 11309 KachelY + 1 23830 -0.97311906 -1.09999506 -55.755615 -63.025074
    Unten rechts KachelX + 1 11310 KachelY + 1 23830 -0.97292731 -1.09999506 -55.744629 -63.025074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09990807--1.09999506) × R
    8.6990000000009e-05 × 6371000     		dl = 554.213290000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09990807--1.09999506) × R
    8.6990000000009e-05 × 6371000     		dr = 554.213290000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97311906--0.97292731) × cos(-1.09990807) × R
    0.000191750000000046 × 0.453678048201374 × 6371000     		do = 554.230910546323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97311906--0.97292731) × cos(-1.09999506) × R
    0.000191750000000046 × 0.453600523984401 × 6371000     		du = 554.136203920044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09990807)-sin(-1.09999506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453678048201374-0.453600523984401)×R²
    abs(-0.97292731--0.97311906)×7.75242169723245e-05×R²
    0.000191750000000046×7.75242169723245e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.75242169723245e-05×40589641000000     		ar = 307135.892711412m²