Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 113080 / 18328
↖ ↑ ↗
← N 78.120932°
E130.583496°		 ← 62.86 m → N 78.120932°
E130.586243°		 →
↑
62.88 m
↓
↑
62.88 m
↓
N 78.120367°
E130.583496°		 ← 62.86 m →
3 953 m²		 N 78.120367°
E130.586243°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.862735748291016 y=0.139835357666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.862735748291016 × 217)
    floor (0.862735748291016 × 131072)
    floor (113080.5)     		tx = 113080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139835357666016 × 217)
    floor (0.139835357666016 × 131072)
    floor (18328.5)     		ty = 18328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113080 / 18328 ti = "17/113080/18328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113080/18328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113080 ÷ 217
    113080 ÷ 131072     		x = 0.86273193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18328 ÷ 217
    18328 ÷ 131072     		y = 0.13983154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.86273193359375 × 2 - 1) × π
    0.7254638671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.27911196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13983154296875 × 2 - 1) × π
    0.7203369140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26300515726361
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.27911196} λ = 2.27911196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26300515726361))-π/2
    2×atan(9.61193117245722)-π/2
    2×1.46713190090583-π/2
    2.93426380181166-1.57079632675     		φ = 1.36346748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.27911196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 130.583496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36346748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.120932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113080 KachelY 18328 2.27911196 1.36346748 130.583496 78.120932
    Oben rechts KachelX + 1 113081 KachelY 18328 2.27915989 1.36346748 130.586243 78.120932
    Unten links KachelX 113080 KachelY + 1 18329 2.27911196 1.36345761 130.583496 78.120367
    Unten rechts KachelX + 1 113081 KachelY + 1 18329 2.27915989 1.36345761 130.586243 78.120367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36346748-1.36345761) × R
    9.8699999999674e-06 × 6371000     		dl = 62.8817699997923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36346748-1.36345761) × R
    9.8699999999674e-06 × 6371000     		dr = 62.8817699997923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.27911196-2.27915989) × cos(1.36346748) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.205846688853785 × 6371000     		do = 62.8577627772086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.27911196-2.27915989) × cos(1.36345761) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.205856347470338 × 6371000     		du = 62.8607121519662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36346748)-sin(1.36345761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205846688853785-0.205856347470338)×R²
    abs(2.27915989-2.27911196)×9.65861655280453e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.65861655280453e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.65861655280453e-06×40589641000000     		ar = 3952.7001125287m²