Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 11308 / 23828
↖ ↑ ↗
← S 63.015106°
W 55.766602°		 ← 554.33 m → S 63.015106°
W 55.755615°		 →
↑
554.28 m
↓
↑
554.28 m
↓
S 63.020090°
W 55.766602°		 ← 554.23 m →
307 224 m²		 S 63.020090°
W 55.755615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345108032226562 y=0.727188110351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345108032226562 × 215)
    floor (0.345108032226562 × 32768)
    floor (11308.5)     		tx = 11308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727188110351562 × 215)
    floor (0.727188110351562 × 32768)
    floor (23828.5)     		ty = 23828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11308 / 23828 ti = "15/11308/23828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11308/23828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11308 ÷ 215
    11308 ÷ 32768     		x = 0.3450927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23828 ÷ 215
    23828 ÷ 32768     		y = 0.7271728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3450927734375 × 2 - 1) × π
    -0.309814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.97331081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7271728515625 × 2 - 1) × π
    -0.454345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42736912308679
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97331081} λ = -0.97331081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42736912308679))-π/2
    2×atan(0.239939343479125)-π/2
    2×0.235487626942743-π/2
    0.470975253885486-1.57079632675     		φ = -1.09982107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97331081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.766602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09982107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.015106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11308 KachelY 23828 -0.97331081 -1.09982107 -55.766602 -63.015106
    Oben rechts KachelX + 1 11309 KachelY 23828 -0.97311906 -1.09982107 -55.755615 -63.015106
    Unten links KachelX 11308 KachelY + 1 23829 -0.97331081 -1.09990807 -55.766602 -63.020090
    Unten rechts KachelX + 1 11309 KachelY + 1 23829 -0.97311906 -1.09990807 -55.755615 -63.020090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09982107--1.09990807) × R
    8.69999999999482e-05 × 6371000     		dl = 554.27699999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09982107--1.09990807) × R
    8.69999999999482e-05 × 6371000     		dr = 554.27699999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97331081--0.97311906) × cos(-1.09982107) × R
    0.000191749999999935 × 0.453755577896508 × 6371000     		do = 554.325623864619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97331081--0.97311906) × cos(-1.09990807) × R
    0.000191749999999935 × 0.453678048201374 × 6371000     		du = 554.230910546002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09982107)-sin(-1.09990807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453755577896508-0.453678048201374)×R²
    abs(-0.97311906--0.97331081)×7.75296951343041e-05×R²
    0.000191749999999935×7.75296951343041e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.75296951343041e-05×40589641000000     		ar = 307223.695305198m²