Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113074 / 18343
↖ ↑ ↗
← N 78.112448°
E130.567016°		 ← 62.92 m → N 78.112448°
E130.569763°		 →
↑
62.95 m
↓
↑
62.95 m
↓
N 78.111882°
E130.567016°		 ← 62.92 m →
3 960 m²		 N 78.111882°
E130.569763°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.862689971923828 y=0.139949798583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.862689971923828 × 217)
    floor (0.862689971923828 × 131072)
    floor (113074.5)     		tx = 113074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139949798583984 × 217)
    floor (0.139949798583984 × 131072)
    floor (18343.5)     		ty = 18343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113074 / 18343 ti = "17/113074/18343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113074/18343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113074 ÷ 217
    113074 ÷ 131072     		x = 0.862686157226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18343 ÷ 217
    18343 ÷ 131072     		y = 0.139945983886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.862686157226562 × 2 - 1) × π
    0.725372314453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.27882433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139945983886719 × 2 - 1) × π
    0.720108032226562 × 3.1415926535     		Φ = 2.26228610376931
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.27882433} λ = 2.27882433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26228610376931))-π/2
    2×atan(9.6050221640317)-π/2
    2×1.46705786746997-π/2
    2.93411573493994-1.57079632675     		φ = 1.36331941
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.27882433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 130.567016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36331941 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.112448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113074 KachelY 18343 2.27882433 1.36331941 130.567016 78.112448
    Oben rechts KachelX + 1 113075 KachelY 18343 2.27887227 1.36331941 130.569763 78.112448
    Unten links KachelX 113074 KachelY + 1 18344 2.27882433 1.36330953 130.567016 78.111882
    Unten rechts KachelX + 1 113075 KachelY + 1 18344 2.27887227 1.36330953 130.569763 78.111882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36331941-1.36330953) × R
    9.87999999990663e-06 × 6371000     		dl = 62.9454799994051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36331941-1.36330953) × R
    9.87999999990663e-06 × 6371000     		dr = 62.9454799994051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.27882433-2.27887227) × cos(1.36331941) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205991585567067 × 6371000     		do = 62.9151324555534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.27882433-2.27887227) × cos(1.36330953) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206001253668189 × 6371000     		du = 62.9180853424931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36331941)-sin(1.36330953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205991585567067-0.206001253668189)×R²
    abs(2.27887227-2.27882433)×9.66810112226768e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.66810112226768e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.66810112226768e-06×40589641000000     		ar = 3960.31614713836m²