Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113067 / 18427
↖ ↑ ↗
← N 78.064830°
E130.547791°		 ← 63.15 m → N 78.064830°
E130.550537°		 →
↑
63.20 m
↓
↑
63.20 m
↓
N 78.064261°
E130.547791°		 ← 63.15 m →
3 991 m²		 N 78.064261°
E130.550537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.862636566162109 y=0.140590667724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.862636566162109 × 217)
    floor (0.862636566162109 × 131072)
    floor (113067.5)     		tx = 113067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140590667724609 × 217)
    floor (0.140590667724609 × 131072)
    floor (18427.5)     		ty = 18427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113067 / 18427 ti = "17/113067/18427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113067/18427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113067 ÷ 217
    113067 ÷ 131072     		x = 0.862632751464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18427 ÷ 217
    18427 ÷ 131072     		y = 0.140586853027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.862632751464844 × 2 - 1) × π
    0.725265502929688 × 3.1415926535     		Λ = 2.27848878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140586853027344 × 2 - 1) × π
    0.718826293945312 × 3.1415926535     		Φ = 2.25825940420123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.27848878} λ = 2.27848878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25825940420123))-π/2
    2×atan(9.56642339041922)-π/2
    2×1.46664231623036-π/2
    2.93328463246072-1.57079632675     		φ = 1.36248831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.27848878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 130.547791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36248831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.064830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113067 KachelY 18427 2.27848878 1.36248831 130.547791 78.064830
    Oben rechts KachelX + 1 113068 KachelY 18427 2.27853671 1.36248831 130.550537 78.064830
    Unten links KachelX 113067 KachelY + 1 18428 2.27848878 1.36247839 130.547791 78.064261
    Unten rechts KachelX + 1 113068 KachelY + 1 18428 2.27853671 1.36247839 130.550537 78.064261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36248831-1.36247839) × R
    9.92000000010762e-06 × 6371000     		dl = 63.2003200006857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36248831-1.36247839) × R
    9.92000000010762e-06 × 6371000     		dr = 63.2003200006857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.27848878-2.27853671) × cos(1.36248831) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.206804790363706 × 6371000     		do = 63.1503305992243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.27848878-2.27853671) × cos(1.36247839) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.206814495905205 × 6371000     		du = 63.1532943030786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36248831)-sin(1.36247839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206804790363706-0.206814495905205)×R²
    abs(2.27853671-2.27848878)×9.70554149895553e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.70554149895553e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.70554149895553e-06×40589641000000     		ar = 3991.21475569621m²