Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113031 / 18367
↖ ↑ ↗
← N 78.098862°
E130.448914°		 ← 62.97 m → N 78.098862°
E130.451660°		 →
↑
62.95 m
↓
↑
62.95 m
↓
N 78.098296°
E130.448914°		 ← 62.98 m →
3 964 m²		 N 78.098296°
E130.451660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.862361907958984 y=0.140132904052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.862361907958984 × 217)
    floor (0.862361907958984 × 131072)
    floor (113031.5)     		tx = 113031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140132904052734 × 217)
    floor (0.140132904052734 × 131072)
    floor (18367.5)     		ty = 18367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113031 / 18367 ti = "17/113031/18367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113031/18367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113031 ÷ 217
    113031 ÷ 131072     		x = 0.862358093261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18367 ÷ 217
    18367 ÷ 131072     		y = 0.140129089355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.862358093261719 × 2 - 1) × π
    0.724716186523438 × 3.1415926535     		Λ = 2.27676305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140129089355469 × 2 - 1) × π
    0.719741821289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.26113561817843
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.27676305} λ = 2.27676305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26113561817843))-π/2
    2×atan(9.5939780786806)-π/2
    2×1.46693930556783-π/2
    2.93387861113567-1.57079632675     		φ = 1.36308228
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.27676305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 130.448914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36308228 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.098862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113031 KachelY 18367 2.27676305 1.36308228 130.448914 78.098862
    Oben rechts KachelX + 1 113032 KachelY 18367 2.27681098 1.36308228 130.451660 78.098862
    Unten links KachelX 113031 KachelY + 1 18368 2.27676305 1.36307240 130.448914 78.098296
    Unten rechts KachelX + 1 113032 KachelY + 1 18368 2.27681098 1.36307240 130.451660 78.098296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36308228-1.36307240) × R
    9.87999999990663e-06 × 6371000     		dl = 62.9454799994051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36308228-1.36307240) × R
    9.87999999990663e-06 × 6371000     		dr = 62.9454799994051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.27676305-2.27681098) × cos(1.36308228) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.206223624227144 × 6371000     		do = 62.9728645279964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.27676305-2.27681098) × cos(1.36307240) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.206233291845377 × 6371000     		du = 62.9758166515253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36308228)-sin(1.36307240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206223624227144-0.206233291845377)×R²
    abs(2.27681098-2.27676305)×9.6676182329003e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.6676182329003e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.6676182329003e-06×40589641000000     		ar = 3963.95009595863m²